Niezwykłe liczby profesora Stewarta

Wyobraźcie sobie gigantyczną liczbę – taką, której zapis musiałby sięgać od jednego krańca Wszechświata do drugiego. Znajdziecie ją tutaj, razem z wszystkimi innymi liczbami, jakie można sobie wyobrazić – rzeczywistymi, urojonymi, wymiernymi, niewymiernymi, dodatnimi, ujemnymi, prostymi i skomplikowanymi.

Ian Stewart omawia zdumiewające własności liczb, od zera do nieskończoności, wyjaśnia genialne pomysły starożytnych matematyków i pokazuje, jak zmieniało się pojęcie liczby na przestrzeni czasu.

Pod doświadczoną opieką profesora Stewarta odkryjecie matematyczne tajemnice szyfrów, sudoku, kostki Rubika i skal muzycznych, dowiedzie się też, jak to możliwe, że jedna nieskończoność jest większa od drugiej. Przekonacie się także, że tak naprawdę żyjemy w jedenastowymiarowej przestrzeni.

Stewart doskonale wyjaśnia wszystkie skomplikowane pojęcia.
„New Scientist”

Profesor Ian Stewart jest słynnym na całym świecie popularyzatorem matematyki. W 1995 roku londyńskie Towarzystwo Królewskie odznaczyło go Medalem Faradaya za upowszechnianie wiedzy o naukach ścisłych, w roku 2000 otrzymał Złoty Medal przyznawany przez Institute for Mathematics and its Applications (IMA – Instytut Matematyki i jej Zastosowań), w 2001 został nagrodzony przez American Association for the Advancement of Science (AAAS – Amerykańskie Towarzystwo na rzecz Postępu Nauki), a w 2008 roku Londyńskie Towarzystwo Matematyczne i IMA uhonorowały go Medalem Zeemana. W 2001 roku został członkiem londyńskiego Towarzystwa Królewskiego. Jest emerytowanym profesorem matematyki na Uniwersytecie w Warwick, gdzie wciąż pracuje, dzieląc swój czas między badania z zakresu dynamiki nieliniowej a popularyzację wiedzy matematycznej. Wśród licznych napisanych przez niego książek popularnonaukowych należy wymienić „Matematykę życia”, „17 równań, które zmieniły świat” oraz „Wielkie problemy matematyczne”.

Liczby fascynują mnie od zawsze. Mama nauczyła mnie czytać i liczyć na długo, zanim poszedłem do szkoły. Anegdota rodzinna głosi, że gdy w końcu znalazłem się tam po raz pierwszy, po powrocie narzekałem, że „nie nauczyłem się niczego nowego!”. Podejrzewam, że rodzice przygotowywali mnie na ten trudny dzień, przekonując, że poznam tam wiele ciekawych rzeczy, a ja wziąłem sobie ich zapewnienia zbyt mocno do serca. Wkrótce jednak dowiedziałem się o istnieniu planet i że po Ziemi chodziły kiedyś dinozaury, nauczyłem się też lepić zwierzęta z plasteliny. No i dowiedziałem się czegoś więcej o liczbach.
Wciąż jestem nimi zauroczony i w dalszym ciągu poznaję nowe fakty na ich temat. Zwykle staram się wszystkim przypominać, że matematyka zajmuje się wieloma różnymi pojęciami, nie tylko liczbami – na przykład opisuje także kształty, wzorce i prawdopodobieństwa – nie ulega jednak wątpliwości, że liczby stanowią podstawę całej tej dziedziny. Do tego każda z nich ma odrębną indywidualność. Kilka szczególnych liczb wysuwa się na pierwszy plan i wydaje się, że odgrywają one główną rolę w wielu różnych gałęziach matematyki. Najbardziej znaną z nich jest liczba π (pi), na którą natrafiamy po raz pierwszy przy okazji analizy okręgów, ale ma ona niezwykłą skłonność do pojawiania się w zagadnieniach mających niewiele, a nawet nic wspólnego z okręgami.
Większość liczb nie pretenduje do tak ważnej roli, ale nawet te najbardziej pospolite mają zazwyczaj w zanadrzu jakieś niezwykłe cechy. W książce Autostopem przez Galaktykę liczba 42 okazała się „odpowiedzią na ostateczne pytanie o życie, wszechświat i całą resztę”1. Douglas Adams powiedział kiedyś, że wybrał tę liczbę dlatego, że szybka ankieta przeprowadzona wśród znajomych przekonała go, iż jest to wartość zupełnie nieciekawa. Okazuje się jednak, że to nieprawda, o czym przekonamy się w ostatnim rozdziale.
W książce przyjąłem zasadę porządkującą opartą na samych liczbach, choć nie oznacza to, że materiał zawsze będzie przedstawiany w naturalnej kolejności. Oprócz rozdziałów 1, 2, 3 i tak dalej znajdziemy tu również rozdziały 0, 42, –1, , π, 43 252 003 274 489 856 000, a nawet . Nie powinno jednak nikogo dziwić, że wiele potencjalnie interesujących liczb nie wydostało się poza obręb osi liczbowej i nie trafiło na tytułową stronę rozdziału w tej książce. Każdy rozdział rozpoczyna krótkie wprowadzenie przedstawiające główne zagadnienia, jakie zostaną w nim poruszone. Nie przejmujcie się, jeśli te wprowadzenia wydadzą się wam czasami niezrozumiałe albo jeśli znajdziecie w nich kategoryczne stwierdzenia niepoparte żadnymi dowodami – wszystko stanie się jasne w trakcie dalszej lektury.
Struktura książki jest prosta: każdy z rozdziałów poświęcony jest jednej interesującej liczbie i jego celem jest wyjaśnienie, dlaczego jest ona interesująca. Liczba 2 jest na przykład ciekawa dlatego, że podział na wartości parzyste i nieparzyste występuje w całej matematyce i nauce. Z kolei 43 252 003 274 489 856 000 jest intrygująca z tego powodu, że jest to liczba różnych możliwych sposobów ułożenia kostki Rubika.
Skoro w książce znalazła się liczba 42, to również ona musi być interesująca. Faktycznie tak jest, a przynajmniej do pewnego stopnia.
W tym miejscu muszę wspomnieć o utworze “Alice’s Restaurant Massacree” Arla Guthriego, rozwlekłej bluesowej opowieści z absurdalnym zakończeniem, w której Guthrie relacjonuje szczegółowo wydarzenia związane z wyrzuceniem papierka. W dziesiątej minucie utworu Arlo nagle przerywa i stwierdza: „Ale nie o tym chciałem wam dzisiaj opowiedzieć”. Ostatecznie przekonujemy się, że jednak właśnie o tym chciał nam opowiedzieć, choć wyrzucony papierek okazuje się częścią bardziej rozbudowanej historii. Czas więc, bym i ja zastosował sztuczkę Arla Guthriego: ta książka tak naprawdę nie jest o liczbach.
Liczby są jedynie punktem wyjścia, wytyczają szlak pozwalający się nam zanurzyć w niezwykłych pojęciach matematycznych, jakie się z nimi wiążą. Każda liczba ma w sobie coś szczególnego. Gdy ktoś dostrzeże w nich odrębne indywidualności, stają się niczym starzy znajomi. Każda ma jakąś historię do opowiedzenia. Często opowieść ta prowadzi do wielu innych liczb, ale najważniejsze w tym wszystkim są związane z nimi prawidła matematyki. Liczby są jedynie osobami dramatu i najważniejszą rzeczą jest wymowa całej sztuki, ale nie można przecież wystawić przedstawienia bez bohaterów.
Aby uniknąć chaosu, podzieliłem książkę na części odpowiadające poszczególnym rodzajom liczb: małym liczbom całkowitym, ułamkom, liczbom rzeczywistym, zespolonym, nieskończoności… Oprócz kilku nieuniknionych wyjątków cały materiał jest przedstawiony w logicznym porządku, a więc wcześniejsze rozdziały przygotowują grunt pod zagadnienia omawiane w dalszej części książki, nawet jeśli poruszana w nich tematyka wydaje się zupełnie inna. Ta zasada miała wpływ na kolejność przedstawienia liczb, ale w kilku przypadkach trzeba było pójść na pewien kompromis. Najbardziej istotne jest odstępstwo związane z liczbami zespolonymi. Pojawiają się bardzo wcześnie, ponieważ są mi potrzebne do omówienia pewnych cech innych, bardziej swojsko wyglądających liczb. Podobnie, czasami w opowieści pojawia się jakieś bardziej zaawansowane zagadnienie, ponieważ było to jedyne sensowne miejsce, by o nim wspomnieć. Jeśli któryś z takich fragmentów okaże się dla was trudny do prześledzenia, po prostu go pomińcie. Zawsze możecie później do niego wrócić.
Książce towarzyszy przygotowana przeze mnie aplikacja Incredible Numbers, przeznaczona na tablety iPad. Nie jest ona potrzebna do zrozumienia książki, ani też książka nie jest potrzebna do używania aplikacji. Prawdę mówiąc, książka i aplikacja zazębiają się ze sobą jedynie na niewielkim obszarze. Wzajemnie się jednak uzupełniają, ponieważ każda z tych form przekazywania treści oferuje inne możliwości.
Liczby naprawdę są niesamowite – nie w tym sensie, że wzbudzają lęk, ale w pozytywnym znaczeniu tego słowa: bez wątpienia potrafią nas wprawić w zdumienie. Aby tego doświadczyć, wcale nie trzeba przeprowadzać obliczeń. Możemy przyjrzeć się historii ich ewolucji, dostrzec piękno zawarte w ich wzorach, dowiedzieć się, jak się je wykorzystuje, i cieszyć się z niespodzianek: „Nie sądziłem, że liczba 56 jest tak fascynująca!”. Faktycznie, jest. Naprawdę.
Tak samo zresztą jak i inne liczby. Nawet 42.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … Czyż może być coś prostszego? A jednak to właśnie liczby, chyba bardziej niż cokolwiek innego, przyczyniły się do tego, że ludzkość otrzepała się z błota i sięgnęła gwiazd.
Poszczególne liczby mają swoje charakterystyczne cechy i prowadzą do różnych obszarów matematyki. Zanim się jednak nimi kolejno zajmiemy, zastanówmy się krótko nad trzema wielkimi pytaniami. Skąd wzięły się liczby? Jak rozwinęło się pojęcie wartości liczbowych? I czym liczby w ogóle są?

Pochodzenie liczb

Około 35 tysięcy lat temu, w górnym paleolicie, nieznany człowiek wyciął 29 kresek na kości strzałkowej pawiana. Znaleziono ją w jaskini w górach Lebombo w Suazi i od tego czasu znana jest jako „kość z Lebombo”. Uważa się, że był to swego rodzaju rejestr – przedmiot, na którym zapisywano liczby w postaci ciągu nacięć: |, ||, |||i tak dalej. Miesiąc księżycowy ma 29,5 dnia, zatem mógł to być prymitywny kalendarz księżycowy – lub zapis kobiecego cyklu menstruacyjnego. Albo przypadkowy zbiór karbów. Jakieś gryzmoły na kości.
W 1937 roku Karel Absolon znalazł w Czechosłowacji wilczą kość, która okazała się kolejnym podobnym rejestrem z 55 karbami. Znalezisko to liczy około 30 tysięcy lat.
W 1960 roku belgijski geolog Jean de Heinzelin de Braucourt odkrył karbowaną kość strzałkową pawiana wśród pozostałości po niewielkiej wiosce rybackiej zasypanej pyłem wulkanicznym. Wioska znajdowała się na obszarze nazywanym obecnie Ishango, na granicy między Ugandą i Kongo. Wiek znaleziska datuje się na około 20 tysięcy lat.
Najprostsze wyjaśnienie nacięć na kości z Ishango opiera się na założeniu, że również w tym wypadku był to swego rodzaju rejestr. Niektórzy antropolodzy wysuwają jednak śmielsze hipotezy i dopatrują się w owych karbach elementów struktury arytmetycznej, takich jak mnożenie, dzielenie czy zapis liczb pierwszych; inni uważają, że jest to sześciomiesięczny kalendarz księżycowy; jeszcze inni są przekonani, że nacięcia miały jedynie zapewnić dobrą przyczepność rękojeści narzędzia wykonanego z tej kości i nie mają żadnego matematycznego znaczenia.
Jest to niezwykle intrygujące. Na kości widać trzy serie nacięć. W środkowym ciągu pojawiają się liczby 3, 6, 4, 8, 10, 5, 7. Dwa razy 3 to 6, dwa razy 4 to 8 i dwa razy 5 to 10, ale w ostatniej parze kolejność liczb jest odwrotna, a 7 zupełnie nie pasuje do tego wzorca. Ciąg widoczny po lewej składa się z liczb 11, 13, 17, 19 – są to liczby pierwsze z przedziału między 10 i 20. W ciągu po prawej znajdziemy liczby nieparzyste 11, 21, 19, 9. Liczby każdego z ciągów zapisanych po lewej i prawej sumują się do wartości 60.
Problem z interpretacją tego typu ciągów polega na tym, że znalezienie jakiejś prawidłowości w dowolnym ciągu niedużych liczb wcale nie jest takie trudne. W tabeli 1 przedstawiono na przykład pole powierzchni dziesięciu wysp archipelagu Bahamów, a mówiąc konkretnie, chodzi o te plasujące się na miejscach od 11 do 20 na liście największych wysp archipelagu. Aby nieco przemieszać te liczby, ułożyłem wyspy w porządku alfabetycznym. Przysięgam, że nigdy wcześniej nie analizowałem tego ciągu liczb. Przyznaję, że byłem gotów zastąpić go jakimś innym przykładem, gdyby nie udało się dowieść mojej tezy – ale powiodło mi się za pierwszym razem, niczego więc nie zmieniałem.
Jakie „prawidłowości” możemy zauważyć w tym ciągu liczb? Występuje w nim wiele krótszych ciągów o jednakowych cechach.
Zacznijmy od tego, że cała lista charakteryzuje się piękną symetrią. Na obu końcach występują trzy wartości będące wielokrotnościami liczby 3. W środku znajdziemy parę wielokrotności 10 rozdzielającą dwie wielokrotności liczby 7. Co więcej, mamy dwa kwadraty, 9 = 32 i 49 = 72, będące kwadratami liczb pierwszych. Inną parę tworzą liczby 15 i 30 – druga z nich jest dwukrotnością pierwszej. W ciągu 9–93–49 we wszystkich liczbach występuje cyfra 9. Kolejne liczby są na przemian raz większe, raz mniejsze, z wyjątkiem ciągu 110–80–14. Ach, i czy zauważyliście, że żadna z tych dziesięciu wartości nie jest liczbą pierwszą?
Chyba wystarczy… Innym problemem związanym z kością z Ishango jest to, że praktycznie nie mamy szans na znalezienie dodatkowych dowodów potwierdzających którąkolwiek z interpretacji. Jednak nacięcia na tej kości z pewnością są intrygujące. Zagadki liczbowe zawsze wzbudzają naszą ciekawość. Oto inna, nieco mniej kontrowersyjna.
Przed dziesięciu tysiącami lat ludzie zamieszkujący Bliski Wschód rejestrowali liczby za pomocą glinianych żetonów – być może robili to dla celów podatkowych, a może chodziło o przechowywanie dowodu własności posiadanego dobytku. Najstarsze tego typu przykłady pochodzą z Tepe Asiab i Gandż Dareh Tepe – dwóch stanowisk archeologicznych w górach Zagros w Iranie. Żetony miały postać niewielkich glinianych bryłek o różnych kształtach. Na niektórych z nich widać jakieś symboliczne oznaczenia. Bryłka ze znakiem „+” oznaczała owcę; siedem takich bryłek to siedem owiec. Aby uniknąć konieczności przechowywania dużej liczby żetonów, stosowano inny rodzaj glinianej bryłki oznaczający dziesięć owiec. Jeszcze inny rodzaj żetonu symbolizował dziesięć kóz i tak dalej. Archeolog Denise Schmandt-Besserat doszła do wniosku, że poszczególne żetony oznaczały podstawowe rodzaje ówczesnego pożywienia: zboża, zwierzęta, dzbany oliwy.
Około roku 4000 p.n.e. żetony przechowywano nanizane na sznurek, niczym naszyjnik. W takim razie jednak łatwo można było w sposób niekontrolowany zmienić zarejestrowane liczby, dodając lub usuwając żetony, wprowadzono więc dodatkowe zabezpieczenia. Odliczone żetony zawijano w glinianą „kopertę”, którą następnie wypalano. Jeśli doszło do jakiejś różnicy zdań, zawsze można było ją rozstrzygnąć, rozbijając glinianą kopertę. Aby uniknąć konieczności niepotrzebnego tłuczenia kopert, biurokraci starożytnej Mezopotamii od 3500 roku p.n.e. zaczęli dodatkowo zapisywać na samej kopercie symbole oznaczające liczby żetonów znajdujących się w środku.
Potem kogoś olśniło, że przecież same zapisane symbole w zupełności już wystarczają – żetony są wówczas zbędne. Tak powstał system zapisu symboli oznaczających liczby, który przygotował grunt pod wszystkie późniejsze systemy liczbowe, a może nawet pod rozwój samego pisma.

Nie jest to książka poświęcona historii, późniejsze systemy zapisu liczb więc przedstawimy w dalszych rozdziałach, przy okazji omawiania związanych z nimi określonych wartości liczbowych. Na przykład starożytny i współczesny sposób zapisu ułamków dziesiętnych omówimy w rozdziale 10. Jednak, jak zauważył kiedyś wielki matematyk Carl Friedrich Gauss, najważniejsze w tym wszystkim są nie notacje, ale pojęcia. Zagadnienia omawiane w dalszej kolejności nabiorą większego sensu, jeśli zobaczymy je w kontekście zmieniającego się pojęcia liczb. Zacznijmy więc od krótkiego przeglądu najważniejszych zbiorów liczbowych i wprowadzenia ważnej terminologii.

Bezustannie powiększający się zbiór liczb

Zazwyczaj uważamy liczby za coś ustalonego i niezmiennego, za jedną z cech świata przyrody. Tak naprawdę są one jednak naszym wynalazkiem – ale bardzo użytecznym, ponieważ odzwierciedlają ważne aspekty otaczającego nas świata. Takie jak liczba posiadanych owiec czy wiek Wszechświata. Natura bezustannie nas zaskakuje, raz za razem stawiając przed nami nowe pytania, i czasami znalezienie na nie odpowiedzi wymaga użycia nowych pojęć matematycznych. Czasami zaś to wewnętrzne wymogi matematyki wskazują na istnienie nowych, potencjalnie użytecznych struktur. W niektórych wypadkach te wskazówki i problemy zmuszały matematyków do rozszerzenia zbiorów liczbowych i wymyślenia nowych rodzajów liczb.
Powiedzieliśmy już o tym, że pierwsze liczby powstały po to, by móc liczyć różne rzeczy. W starożytnej Grecji zbiór liczb zaczynał się początkowo od wartości 2, 3, 4 i tak dalej – wartość 1 była szczególna, nie uważano jej za „prawdziwą” liczbę. Później, gdy ta konwencja zaczęła wyglądać naprawdę głupio, 1 uznano w końcu za pełnoprawną liczbę.
Kolejnym ważnym etapem w powiększaniu zbioru liczb było wprowadzenie ułamków. Ułamki przydają się, gdy chcemy coś rozdzielić między kilka osób. Jeśli trzy osoby mają podzielić równo między sobą dwa korce ziarna, to każda powinna otrzymać 2/3 korca.