Księga matematycznych tajemnic

Po bestsellerowej serii „Gabinet matematycznych zagadek” przyszedł czas na „księgę” z łamigłówkami, anegdotami i ciekawostkami ze świata matematyki.

Uznany brytyjski matematyk, Ian Stewart (znany choćby z napisanej wspólnie z Terry’m Pratchettem Nauki Świata Dysku) w przystępny, bardzo ciekawy i nierzadko zabawny sposób opowiada o dziedzinie, która zdaje się być niezbadaną tajemnicą.

W tym tomie waszym przewodnikiem po fascynującym świecie matematyki będzie niezbyt genialny detektyw Hemlock Soames i jego pomocnik doktor John Watsup!

Ian Stewart – jeden z najbardziej znanych brytyjskich matematyków. Został odznaczony Medalem im. Michaela Faradaya przez Towarzystwo Królewskie w Londynie za rozwijanie zainteresowania naukami ścisłymi w społeczeństwie. Napisał wiele książek popularnonaukowych, m.in. Czy Bóg gra w kości?, Listy do młodego matematyka, Krowy w labiryncie, a także, wspólnie z Terrym Pratchettem, Naukę Świata Dysku. Dziełem jego życia są jednak przede wszystkim tomy Gabinet matematycznych zagadek oraz Skarbiec matematycznych zagadek, zbierające ciekawostki, anegdoty, gry i łamigłówki, które Stewart spisywał skrupulatnie od 14 roku życia.
Na co dzień jest konsultantem ds. matematyki pisma „New Scientist” i profesorem matematyki na Uniwersytecie Warwick.

Gabinet matematycznych zagadek ukazał się w Wielkiej Brytanii w 2008 roku, tuż przed Bożym Narodzeniem. Czytelnikom najwyraźniej spodobała się taka mieszanka matematycznych sztuczek, gier, pokrętnych biografii, skrawków dziwnych informacji, rozwiązanych i nierozwiązanych problemów, osobliwych ciekawostek, poprzetykanych tu i ówdzie nieco dłuższymi i poważniejszymi tekstami na takie tematy, jak fraktale, topologia czy wielkie twierdzenie Fermata. Rok później wydano więc Gabinet matematycznych zagadek. Część II — kontynuację utrzymaną w podobnym duchu, ze sporadycznie przewijającym się motywem piratów.

Podobno trzy to dobra liczba — w sam raz na trylogię. Co prawda Douglas Adams, nieżyjący już autor słynnego Autostopem przez Galaktykę, uznał, że lepsza jest trylogia w pięciu częściach (jak brzmiał podtytuł jego książki), ale trzy też będzie dobre na początek. Po pięciu latach przerwy ukazuje się zatem Księga matematycznych tajemnic. Tym razem jednak — z pewnym nowym akcentem. Nadal mamy tu krótkie ciekawostki, takie jak „Heksakosjoiheksekontaheksafobia”, „Hipoteza grafu thrackle”, „Jaki kształt ma skórka pomarańczy?” czy „Bazgroły Euklidesa”. Nie zabrakło też poważniejszych artykułów o rozwiązanych i nierozwiązanych problemach: „Naleśnikowe liczby”, „Słaba hipoteza Goldbacha”, „Problem dyskrepancji Erdősa”, „Problem kwadratowego kołka” czy „Hipoteza ABC”. A także dowcipów, wierszyków i anegdot. Nie mówiąc już o przykładach niezwykłych zastosowań matematyki do wyjaśniania zachowań lecących gęsi i kolonii małży czy lamparcich cętek i bąbelków w piwie Guinness. Ale tym razem wśród tych rozmaitości znajdą się także kolejne odcinki opowieści o detektywie z czasów wiktoriańskich oraz jego pomocniku lekarzu…

Wiem, co myślicie. Jednak wpadłem na ten pomysł mniej więcej rok przed pojawieniem się na małym ekranie współczesnej, przebojowej wersji przygód bohaterów stworzonych przez sir Arthura Conan Doylea i odtwarzanych tu przez Benedicta Cumberbatcha oraz Martina Freemana. (Możecie mi wierzyć). A poza tym to zupełnie inna para postaci — inna niż w serialu i inna niż w opowiadaniach sir Arthura. Owszem, moi bohaterowie żyją w tamtym okresie historycznym, ale mieszkają po drugiej stronie Baker Street, pod numerem 222B. Rzucają stamtąd zazdrosne spojrzenia na nieprzerwany strumień bogatych klientów, płynący do mieszkania sławniejszego duetu. A od czasu do czasu pojawia się sprawa, którą ich znakomici sąsiedzi wzgardzili lub której nie udało im się rozwiązać: wśród nich tak skomplikowane zagadki, jak: „Znak jednego”, „Psy, które gryzą się w parku”, „Kocia klapka grozy” czy „Greckie całki”. Wtedy Hemlock Soames i doktor John Watsup uruchamiają swoje szare komórki i pokazują swe prawdziwe oblicze i siłę charakteru, by zatriumfować nad przeciwnościami losu oraz brakiem pozycji rynkowej.

Są to oczywiście zagadki matematyczne. Rozwiązanie ich wymaga zainteresowania matematyką i zdolności logicznego myślenia, cech, których Soamesowi i Watsupowi bynajmniej nie brakuje. Rozdziały te oznaczono symbolem i3. Po drodze dowiadujemy się o wcześniejszej karierze wojskowej Watsupa w Al-Gebrastanie i o zmaganiach Soamesa z jego wrogiem numer jeden, profesorem Mogiartym, nieuchronnie prowadzących do ostatecznej, tragicznej konfrontacji na szczycie Wodospadów Schtickelbacha. A potem…

Na szczęście doktor Watsup opisał wiele z ich wspólnych śledztw w swoich pamiętnikach i nieopublikowanych notatkach. Jestem wdzięczny jego spadkobiercom Underwoodowi i Verity Watsupom za umożliwienie mi jako pierwszemu dostępu do rodzinnych dokumentów oraz wspaniałomyślne udzielenie zgody na zamieszczenie tu ich fragmentów.
Coventry, marzec 2014

Stosowane jednostki

W czasach Soamesa i Watsupa w Wielkiej Brytanii stosowano angielskie jednostki miar i wag, a nie metryczne, jak to się dzieje zwykle dzisiaj, obowiązujący zaś system monetarny nie był systemem dziesiętnym. Aby uniknąć nieścisłości, używałem tu jednostek właściwych dla epoki wiktoriańskiej, nawet w rozdziałach nienależących do kanonu historii o Soamesie i Watsupie, z wyjątkiem przypadków, w których imperatyw narracyjny wymagał zastosowania systemu metrycznego.
Poniżej szybka ściągawka z jednostek angielskich, z ich metrycznymi i dziesiętnymi odpowiednikami.
Zazwyczaj w tej książce konkretne zastosowane jednostki nie mają znaczenia: liczby można zostawić bez zmian, tylko wykreślić „cale” czy „jardy” i zastąpić je jakąś nieokreśloną „jednostką”. Albo tą, która wydaje się dogodniejsza (na przykład jard metrem).

Jednostki długości
1 stopa = 12 cali = 304,8 mm
1 jard = 3 stopy = 0,9144 m
1 mila = 1760 jardów =5040 stóp = 1,609 km
1 liga = 3 mile = 4,827 km

Jednostki masy
1 funt = 16 uncji = 453,6 g
1 stone = 14 funtów = 6,35 kg
1 cetnar = 8 stone = 112 funtów = 50,8 kg
1 tona angielska = 20 cetnarów = 2240 funtów = 1,016 ton

Pieniądze
1 szyling = 12 pensów = 5 nowych pensów
1 funt = 20 szylingów = 240 pensów
1 suweren = 1 funt (moneta)
1 gwinea = 1 funt 1 szyling = 1,05 funta
1 korona = 5 szylingów = 25 nowych pensów

Prywatny detektyw wyjął z kieszeni portfel, upewnił się, że nadal jest pusty, i westchnął. Stojąc w oknie swojego wynajmowanego mieszkania przy Baker Street pod numerem 222B, wpatrywał się ponuro w kamienicę po przeciwnej stronie ulicy. Ponad turkotem przejeżdżających powozów można było rozróżnić płynące stamtąd dźwięki irlandzkiej melodii, wygrywanej z dużą wprawą na stradivariusie. Doprawdy, ten człowiek był nie do wytrzymania! Soames patrzył na strumień ludzi ciągnący do bram jego słynnego konkurenta. W większości byli to zamożni przedstawiciele klasy wyższej. Ci, którzy nie wyglądali na zamożnych przedstawicieli klasy wyższej, prawie bez wyjątku ich reprezentowali.
Przestępcy najwyraźniej nie wybierali na ofiary ludzi, którzy byliby skłonni skorzystać z usług Hemlocka Soamesa.
Od dwóch tygodni Soames zazdrośnie obserwował, jak kolejni klienci są prowadzeni przed oblicze osoby uważanej przez nich za największego detektywa na świecie. A przynajmniej w Londynie, co w wiktoriańskiej Anglii na jedno wychodziło. Tymczasem dzwonek u jego, Soamesa, drzwi milczał, stosy rachunków rosły, a pani Mydling groziła eksmisją.
Miał do rozwiązania tylko jedną sprawę. Lord Hmekhem–Smattering, właściciel hotelu Glitz, sądził, że jeden z jego kelnerów ukradł złotego suwerena — o wartości jednego funta szterlinga. Szczerze mówiąc, Soames sam nie pogardziłby w tej chwili suwerenem. Nie był to jednak przypadek z gatunku tych przyciągających uwagę żądnej sensacji prasy brukowej, od której, choć to godne ubolewania, zależała jego przyszłość.
Soames przestudiował swoje notatki dotyczące sprawy. Trzej przyjaciele: Armstrong, Bennett i Cunningham uraczyli się kolacją w hotelu Glitz, po czym wręczono im rachunek na sumę 30 funtów. Każdy z nich dał kelnerowi Manuelowi po dziesięć złotych suwerenów. Po chwili jednak maître d’hôtel zauważył, że popełniono błąd i rachunek w rzeczywistości wynosi 25 funtów. Dał kelnerowi pięć suwerenów, by ten zwrócił je gościom. Ponieważ 5 funtów nie dzieli się przez 3, Manuel zaproponował, że zatrzyma dwie monety tytułem napiwku i odda trzem panom po jednym suwerenie, dając do zrozumienia, iż mają szczęście, że dostaną zwrot choć części nadpłaty.
Klienci się zgodzili i wszystko było dobrze, dopóki maître d’hôtel nie zauważył pewnej arytmetycznej rozbieżności. Teraz panowie zapłacili po 9 funtów, razem 27 funtów. Manuel dostał jeszcze 2 funty, co w sumie daje 29 funtów.
Brakowało jednego funta.
Hmekhem-Smattering był przekonany, że ukradł go Manuel. Chociaż dowody były poszlakowe, Soames wiedział, że byt kelnera zależy od rozwiązania zagadki. Gdyby Manuel został zwolniony ze złymi referencjami, nigdy nie znalazłby pracy.
Co się stało z brakującym funtem?
Odpowiedź na stronie 304.

W pracy detektywa kluczowe znaczenie ma zdolność dostrzegania prawidłowości. Nieopublikowana i pozbawiona tytułu monografia Soamesa, obejmująca dwa tysiące czterdzieści jeden pouczających przykładów prawidłowości, zawiera także przykład następujący. Oblicz:
11 × 91
11 × 9091
11 × 909091
11 × 90909091
11 × 9090909091
Soames posłużyłby się papierem i piórem, a współcześni czytelnicy mogą pójść w jego ślady, jeśli jeszcze pamiętają, jak to zrobić. Zawsze można skorzystać z kalkulatora, ale dość szybko skończy nam się miejsce na wyświetlaczu. Prawidłowość ciągnie się w nieskończoność: nie da się tego udowodnić za pomocą kalkulatora, ale można to wydedukować, używając staroświeckiej metody. A zatem, bez wykonywania dalszych obliczeń, ile wyniesie
11 × 9090909090909091
Trudniejsze pytanie brzmi: skąd ta prawidłowość?
Odpowiedzi na stronie 305.

Lionel Penrose wymyślił ciekawą wersję tradycyjnych labiryntów: labirynty kolejowe. Mają one węzły i rozjazdy, tak jak tory kolejowe, i trzeba się po nich poruszać trasą, jaką mógłby pokonać pociąg, czyli bez ostrych zakrętów. Ten pomysł pozwala zmieścić skomplikowany labirynt na niewielkiej przestrzeni.

Syn Lionela, matematyk Roger Penrose, rozwinął tę koncepcję. Jeden z wymyślonych przez niego labiryntów wyryto, obok innych zagadek logicznych, na kamiennej ławce w Luppitt w angielskim hrabstwie Devon, zwanej Luppitt Millennium Bench. Ten akurat jest dosyć trudny, więc spróbuj swoich sił na takim oto łatwiejszym przykładzie.
Mapa poniżej przedstawia sieć kolejową Ociągających się Pociągów. Pociąg z godziny 10.33 rusza ze stacji S i musi dotrzeć do stacji F. Nie może zmieniać kierunku, cofając się, ale może jechać po torze w dowolnym kierunku, jeśli tor się zapętla. W punktach, w których łączą się dwa odgałęzienia, może wybrać każdy łagodny zakręt. Którędy wiedzie trasa pociągu?

Odpowiedź oraz dalsze informacje, w tym także na temat Labiryntu Milenijnego z Luppitt, na stronie 306.

Drobna mżawka, z tych, które wyglądają niewinnie, ale szybko przemaczają człowieka do suchej nitki, padała na dobrych obywateli Londynu, a także na tych złych, lawirujących między kałużami na Baker Street w pogoni za swoimi sprawami, napawającymi podziwem lub zgrozą. Niezbyt słynny detektyw zajmował swoją zwyczajową pozycję przy oknie i gapił się beznadziejnie w gęstniejący mrok, narzekając pod nosem na stan swoich finansów i popadając w przygnębienie. Dzięki błyskotliwemu rozwiązaniu zagadki skradzionego suwerena zarobił na tyle dużo, by pani Mydling chwilowo przestała się go czepiać, ale kiedy opadła euforia wywołana sukcesem, poczuł się samotny i niedoceniony.
Może potrzebował towarzysza o podobnych zapatrywaniach? Kogoś, z kim mógłby dzielić codzienne zmagania w swojej prywatnej wojnie z występkiem oraz intelektualne wyzwania polegające na rozszyfrowywaniu wskazówek, które sprawcy zbrodni beztrosko rozsiewali wokół? Lecz gdzie mógłby kogoś takiego znaleźć? Nie miał pojęcia.
Ponure rozmyślania przerwało mu pojawienie się na ulicy postawnego mężczyzny, zmierzającego zdecydowanym krokiem w kierunku kamienicy naprzeciwko. Soames instynktownie stwierdził, że musi to być lekarz, który niedawno opuścił szeregi armii. Dobrze ubrany, dobrze sytuowany: jeszcze jeden dziany klient dla tego przereklamowanego osła Hol…
A jednak nie! Mężczyzna przyjrzał się numerowi domu, pokręcił głową i odwrócił na pięcie. Przeszedł przez ulicę, ledwie uskakując spod kół dorożki. Twarz zasłaniało mu rondo kapelusza, ale mowa ciała wskazywała na determinację, być może graniczącą z desperacją. Przyglądając się uważniej nieznajomemu, który rozbudził jego ciekawość, Soames zauważył, że jego płaszcz nie był wcale nowy, jak początkowo myślał, tylko został fachowo zreperowany… na Old Compton Street, sądząc po wyglądzie szwów. W któryś czwartek, kiedy główne szwaczki brały pół dnia wolnego. „Nie dziany, tylko dziad” — poprawił Soames w myślach swój początkowy werdykt, podczas gdy przybysz zniknął mu z oczu, najwyraźniej kierując się do drzwi na dole.
Po dłuższej chwili zadźwięczał dzwonek.
Soames czekał. Pukanie do drzwi obwieściło nadejście jego cierpiącej w milczeniu gospodyni, pani Mydling, ubranej jak zwykle w kwiecistą suknię i obszerny fartuch.
— Jakiś dżentelmen do pana, panie Soames. — Pociągnęła nosem. — Mam go wprowadzić na górę?
Soames skinął głową, a pani Mydling poczłapała po schodach na dół. Minutę później zapukała ponownie i do pokoju wszedł domniemany lekarz. Soames gestem polecił gospodyni, żeby zamknęła za sobą drzwi i wróciła do zajmowanego przez siebie zwyczajowo miejsca za firankami w salonie na parterze, co uczyniła z wyraźną niechęcią.
Przybyły dżentelmen nadstawiał przez chwilę ucha, po czym nagłym szarpnięciem otworzył z powrotem drzwi, cofając się o krok i pozwalając tym samym upaść pani Mydling bokiem na podłogę.
— Ta, no, wycieraczka. Trzeba ją było odkurzyć — wyjaśniła kobieta, zrywając się na nogi. Soames stwierdził w myślach, że gospodynię też przydałoby się teraz odkurzyć, uśmiechnął się do niej cierpko i odprawił ruchem dłoni. Drzwi zamknęły się ponownie.
— Moja wizytówka — powiedział gość. Soames odłożył wizytówkę zadrukowaną stroną do dołu, nawet jej nie przeczytawszy, i zlustrował przybysza od stóp do głów. Po kilku sekundach rzekł:
— Niewiele istotnego da się o panu powiedzieć.
— Słucham?
— Poza oczywistościami, rzecz jasna. Ostatnie cztery lata spędził pan w Al-Gebrastanie, gdzie służył pan jako chirurg w Szóstym Regimencie Dragonów Królewskich. Ledwo uniknął pan poważnych obrażeń w bitwie pod Q’dratem. Niedługo później skończył się okres pańskiej służby, a pan postanowił, po głębokim namyśle, wrócić do Anglii, co też pan zrobił na początku tego roku. — Soames przyjrzał się gościowi uważniej i dodał: — Ma pan cztery koty.
Przybyszowi opadła szczęka, a Soames odwrócił wizytówkę.
— Doktor John Watsup — przeczytał. — Chirurg, Szósty Regiment Dragonów Królewskich, w stanie spoczynku. — Twarz detektywa nie zdradzała żadnych emocji w związku z potwierdzeniem się jego dedukcji, bo przecież było to nieuniknione. — Proszę, niech pan siada i opowie mi o zbrodni, którą przeciwko panu popełniono. Mogę pana zapewnić, że…
Watsup roześmiał się przyjaźnie.
— Panie Soames, cieszę się, że w końcu pana poznałem, gdyż pana sława dociera daleko. Pańskie dedukcje dotyczące mojej osoby dowodzą, że w pełni zasługuje pan na to uznanie, a pańska skromność w obliczu tego osiągnięcia świadczy o panu jak najlepiej. Nie przychodzę tu jednak tylko jako potencjalny klient. Raczej szukam u pana posady. Medycyna już mnie nie pociąga. Panu także by obrzydła, gdyby widział pan to, co ja byłem zmuszony oglądać na froncie. Jestem jednak człowiekiem czynu, wciąż pragnę przygód, nadal mam swój wojskowy rewolwer i… a tak przy okazji, jak pan to wszystko odgadł?
Soames, ignorując potęgujące się przeczucie, że gość myli go z lokatorem spod numeru 221B, usiadł naprzeciwko Watsupa.
— Z pańskiej postury wywnioskowałem, że jest pan wojskowym, jeszcze zanim przeszedł pan przez ulicę. Mam nadnaturalnie wyostrzony wzrok, pan natomiast ma dłonie chirurga, silne, jednak niezniszczone pracą fizyczną. W grudniu zeszłego roku „Times” pisał, że czteroletnia kampania w Al-Gebrastanie dobiega końca, a dragoni z Szóstego Regimentu wracają do Anglii po decydującej, choć okupionej dużym kosztem bitwie pod Q’dratem. Ma pan na sobie stosowne wojskowe buty, a ich stan wskazuje, że jest pan w Anglii już od jakiegoś czasu. Ma pan też niewielką bliznę na żuchwie, prawie zagojoną, ewidentnie po ranie od kuli z muszkietu nieeuropejskiej produkcji — napisałem krótką monografię na temat obrażeń od broni palnej na Dalekim Wschodzie, muszę ją kiedyś panu przeczytać. Jest pan człowiekiem czynu, o czym świadczy sposób, w jaki poradził pan sobie ze wścibstwem pani Mydling, więc nie odszedłby pan ze służby wojskowej dobrowolnie. Gdyby został pan karnie zwolniony, przeczytałbym coś na ten temat w brukowcach, ale nic takiego ostatnio nie opublikowano. Na pańskim płaszczu widać cztery różne rodzaje włosów z kociej sierści: nie tylko cztery kolory, co mogłoby świadczyć o jednym pręgowanym kocie, ale włosy o różnej długości i fakturze… Nie będę już pana zanudzał wymienianiem ich ras.
— Zdumiewające!
— Szczerze mówiąc, muszę też przyznać, że pańska twarz wydaje mi się znajoma. Jestem pewien, że gdzieś już… Ależ tak! Mam! Niewielki artykuł w ubiegłotygodniowej „Chronicle”, ze zdjęciem… Doktor John Watsup, autor znanego powiedzonka „Co jest, doktorku?”. Pańska sława przyćmiewa moją, doktorze.
— Pochlebca z pana, panie Soames.
— Nie, po prostu realista. Ale jeśli mamy razem pracować, musi mnie pan przekonać, że potrafi pan nie tylko działać, lecz także myśleć. Zobaczmy. — I Soames zapisał cyfry
4 9
na kopercie. — Proszę wstawić tu jeden symbol arytmetyczny, tak aby otrzymać liczbę całkowitą między 1 a 9.
Watsup zagryzł w skupieniu wargi.
— Plus… nie, 13 to za dużo. Minus… nie, wynik będzie ujemny. Ani mnożenie, ani dzielenie też do niczego się nie przydadzą. Oczywiście! Pierwiastek! Och, nie: 4 √9 = 12, znów za dużo. — Podrapał się po głowie. — Zabił mi pan klina. Z tym się nie da nic zrobić.
— Zapewniam pana, że rozwiązanie istnieje.
Ciszę przerywało tylko tykanie zegara na kominku. Nagle twarz Watsupa się rozpromieniła.
— Mam! — Wziął kopertę do ręki, dopisał jeden symbol i wręczył ją Soamesowi.
— Zdał pan pierwszy sprawdzian, doktorze.
Co napisał Watsup?
Odpowiedź na stronie 307.