Matematyka życia

Dzięki matematyce uczonym udaje się wyjaśnić ukrytą złożoność roślin i zwierząt, rzucić nowe światło na zachowanie i wzajemne oddziaływanie organizmów.

W sposób niezwykle klarowny i intrygujący Ian Stewart omawia matematyczne aspekty badań nad życiem, między innymi ukryte mechanizmy żywych komórek, działanie mózgu i zachowanie wirusów. Zastanawia się nad możliwościami zaprojektowania i stworzenia sztucznych form życia i szacuje prawdopodobieństwo istnienia organizmów żywych w innych zakątkach Wszechświata.

Rozważa nawet intrygującą kwestię, skąd na ciele tygrysa wzięły się pręgi i dlaczego jaszczurki szukające partnerek grają ze sobą w nożyce, papier, kamień.

„Matematyka życia”, bogata w niezwykle ciekawe informacje i napisana z charakterystyczną dla Stewarta lekkością, głęboko zapadnie w pamięć czytelnikom. Ukazuje sposób, w jaki matematyka kształtuje nasze rozumienie rzeczywistości.
„The Guradian”

Ian Stewart – światowej sławy matematyk i autor bestsellerowych książek popularnonaukowych. Jest emerytowanym profesorem Uniwersytetu w Warwick, gdzie wciąż prowadzi aktywną działalność naukową. W roku 2001 otrzymał nagrodę Towarzystwa Królewskiego im. Michaela Faradaya za popularyzację nauki. Jest autorem licznych książek popularnonaukowych poświęconych matematyce, z których na język polski przetłumaczono dotychczas m.in.: „Oswajanie nieskończoności”, „Histerie matematyczne”, „Listy do młodego matematyka”, „Krowy w labiryncie i inne eksploracje matematyczne”, „Jak pokroić tort i inne zagadki matematyczne”, „Dlaczego prawda jest piękna”, „Stąd do nieskończoności”, „17 równań, które zmieniły świat” oraz „Nauka Świata Dysku I, II, III” (z Terrym Pratchettem i Jackiem Cohenem).

Ian Stewart
Matematyka życia. Jak równania pomagają odkrywać tajemnice natury
Tłumaczenie: Bogumił Bieniok i Ewa Łokas
Wydawnictwo Prószyński i S-ka
Premiera: 7 stycznia 2014

Wstęp

Teoria matematyczna i postęp techniczny zawsze szły ze sobą ramię w ramię. Ta współpraca rozpoczęła się już wtedy, gdy ludzie pierwotni zaczęli wydrapywać na kościach znaki opisujące fazy Księżyca, i trwa aż po dzień dzisiejszy, czego dobrym przykładem mogą być poszukiwania bozonu Higgsa w Wielkim Zderzaczu Hadronów. Gdy Isaac Newton wymyślił rachunek całkowy i różniczkowy, poznaliśmy działanie kosmosu, a w ciągu minionych trzech stuleci następcy Newtona rozwinęli zupełnie nową dziedzinę: fizykę matematyczną, która zajęła się opisem takich zjawisk jak ciepło, światło, dźwięk, mechanika płynów, a później umożliwiła sformułowanie teorii względności i mechaniki kwantowej. Myślenie matematyczne stało się podstawowym sposobem uprawiania nauk fizycznych.

Jeszcze nie tak dawno nauki biologiczne wyglądały zupełnie inaczej. Matematyka w najlepszym wypadku odgrywała w nich rolę służebną. Wykorzystywano ją do przeprowadzenia rutynowych obliczeń i szukania sensu prawidłowości statystycznych w danych. Nie wnosiła zbyt wiele do obrazu pojęciowego czy rozumienia różnych zjawisk. Nie była natchnieniem do formułowania wielkich teorii lub opracowywania przełomowych doświadczeń. W większości wypadków równie dobrze mogłaby w ogóle nie istnieć.
Ten obraz ulega jednak obecnie zmianie. Z najnowszymi odkryciami z dziedziny biologii wiąże się wiele ważnych pytań i wydaje się, że znalezienie na nie odpowiedzi bez zastosowania matematyki będzie w wielu wypadkach niemożliwe. W naukach biologicznych stosuje się obecnie bardzo szeroki wachlarz pojęć matematycznych, a z kolei najnowsze problemy z dziedziny biologii są bodźcem stymulującym rozwój nieznanych dotąd obszarów matematyki, szczególnie w zakresie procesów opisujących istoty żywe. Obecnie matematycy i biolodzy wspólnie rozwiązują jedne z najbardziej skomplikowanych problemów naukowych, z jakimi zetknęła się ludzkość – między innymi starają się wyjaśnić naturę i pochodzenie samego życia. W XXI wieku to właśnie biologia będzie dziedziną stymulującą rozwój matematyki.

W książce Matematyka życia przedstawimy obraz całego tego bogactwa istniejących już różnorodnych związków między matematyką i biologią, od projektu poznania ludzkiego genomu, poprzez badanie struktury wirusów i działania komórek, po analizę budowy i funkcjonowania całych organizmów i ich oddziaływań w globalnym ekosystemie. Powiemy również, w jaki sposób matematyka może rzucić nowe światło na skomplikowane problemy związane z ewolucją, w wypadku których wiele ważnych procesów zachodzi tak powoli, że ich obserwacja nie jest możliwa albo też zaszły już przed wieloma milionami lat i pozostały po nich tylko niejasne ślady.

Początkowo biologia była nauką zajmującą się roślinami i zwierzętami. Później w obszarze jej zainteresowań znalazły się również komórki. Teraz biologowie zajmują się głównie badaniem złożonych cząsteczek. Aby odzwierciedlić te zmiany w myśleniu naukowym na temat tajemnicy życia, rozpoczniemy naszą opowieść od zagadnień bliskich każdemu z nas, a następnie podążymy historyczną drogą rozwoju biologii i tak jak biologowie coraz bardziej będziemy skupiali uwagę na mikroskopowych strukturach organizmów żywych, by ostatecznie dotrzeć do DNA – „cząsteczki życia”.

Nietrudno więc zgadnąć, że znaczna część materiału omawianego w początkowej części książki będzie dotyczyła głównie biologii. Matematyka pojawi się w naszej opowieści jednak już dość wcześnie i pozwoli nam na przykład prześledzić ewolucję pojęć związanych z geometrią roślin od epoki wiktoriańskiej do współczesności, pokazując, jak biologia przyczyniała się do rozwoju nowych idei matematycznych. Po omówieniu podstawowych zagadnień z zakresu biologii głównym bohaterem naszej opowieści stanie się matematyka i przy jej pomocy przemieścimy się w górę skali odległości, od atomów do poziomu, który jest nam najlepiej znany, czyli tego, który opisuje nasze otoczenie: świat trawy, drzew, owiec, krów, kotów, psów… i ludzi.

W biologii wykorzystuje się bardzo różne zagadnienia matematyczne: teorię prawdopodobieństwa, układy dynamiczne, teorię chaosu, symetrię, teorię grafów, mechanikę, elastyczność – a nawet teorię węzłów. Większość omawianych tu zastosowań dotyczy głównego nurtu biomatematyki: badania budowy i działania złożonych cząsteczek kierujących skomplikowanym procesem życia, określania kształtów wirusów, analizowania procesów ewolucyjnych, które już doprowadziły do powstania olbrzymiej różnorodności życia na Ziemi i wciąż jeszcze zachodzą, charakterystyki działania układu nerwowego i mózgu oraz opisu dynamiki ekosystemów.

W książce znalazły się również rozdziały poświęcone naturze życia i możliwości istnienia jego obcych form. Obszar wymiany myśli między matematyką i biologią jest jedną z najprężniej rozwijających się dziedzin nauki. W bardzo krótkim czasie udało się na tym polu wiele osiągnąć. Przyszłość pokaże, jak daleko zdołamy zajść, idąc tą drogą. Bez względu na wszystko, jednego możemy być pewni: to będzie bardzo interesująca podróż.

Ian Stewart
Coventry, wrzesień 2010

1. Matematyka i biologia

Początkowo biologia zajmowała się roślinami, zwierzętami i owadami, jednak pięć wielkich rewolucji zupełnie zmieniło sposób, w jaki obecnie uczeni myślą o życiu. Właśnie nadchodzi szósta rewolucja. Pierwsze pięć było wywołanych kolejno wynalezieniem mikroskopu, wprowadzeniem systematycznej klasyfikacji istot żywych zamieszkujących naszą planetę, ogłoszeniem teorii ewolucji, odkryciem genu i wreszcie odkryciem struktury DNA. Zanim przejdziemy do wspomnianej przeze mnie bardziej kontrowersyjnej, szóstej rewolucji, przyjrzyjmy się z osobna każdemu z pięciu poprzednich przewrotów.

* * *

Mikroskop
Pierwsza rewolucja w biologii miała miejsce trzysta lat temu, gdy dzięki wynalezieniu mikroskopu ujrzeliśmy zdumiewającą złożoność życia w najmniejszych skalach. Od tej chwili mogliśmy obserwować niewidoczną wcześniej złożoność życia dzięki temu, że nowy wynalazek wzmocnił nasz zmysł wzroku. Wynalezienie mikroskopu umożliwiło nam poznanie zadziwiającej wewnętrznej złożoności poszczególnych organizmów. Jedną z pierwszych niespodzianek było odkrycie, że istoty żywe zbudowane są z komórek – maleńkich zbiorniczków substancji chemicznych zamkniętych w błonie pozwalającej wybranym substancjom przedostawać się do środka i na zewnątrz. Niektóre organizmy składają się z jednej komórki, ale nawet one są zaskakująco złożone, ponieważ komórka sama w sobie jest całym układem chemicznym, a nie czymś prostym i oczywistym. Wiele organizmów zbudowanych jest z gigantycznej liczby komórek: nasze ciało zawiera ich około 75 bilionów. Każda komórka jest maleńkim mechanizmem biologicznym, zawierającym własne urządzenia genetyczne, które mogą spowodować jej rozmnożenie lub śmierć. W przyrodzie występuje ponad dwieście rodzajów komórek: komórki mięśniowe, nerwowe, krwi i tak dalej. Komórki odkryto bardzo szybko po wynalezieniu mikroskopu – to zresztą nic dziwnego, bo gdy się ogląda jakiś organizm w dużym powiększeniu, wprost trudno ich nie zauważyć.

* * *

Klasyfikacja
Drugą rewolucję wywołał Karol Linneusz, szwedzki botanik, lekarz i zoolog. W 1735 roku ukazało się jego przełomowe dzieło Systema Naturae. Jego pełny tytuł brzmi po polsku następująco: „Układ przyrody oparty na trzech królestwach natury z podziałem na typy, rzędy, rodzaje i gatunki, z cechami charakterystycznymi, różnicami, synonimami i lokalizacjami”. Linneusz był tak zafascynowany światem przyrody, że uznał, iż należy go skatalogować. W całości. Pierwsze wydanie jego katalogu liczyło zaledwie 11 stron; trzynaste i ostatnie zawierało już 3000 stron. Linneusz wyraźnie zaznaczył, że jego dzieło nie jest próbą odkrycia jakiegoś ukrytego porządku naturalnego – chciał jedynie poukładać wszystko, co już istnieje, w systematyczny, uporządkowany sposób.
Postanowił sklasyfikować obiekty występujące w przyrodzie w oparciu o pięciostopniowy podział na królestwo, typ, rząd, rodzaj i gatunek. Wyróżnił trzy królestwa: zwierzęta, rośliny i minerały. W ten sposób narodziła się nowa dziedzina nauki: systematyka, czyli nauka zajmująca się klasyfikacją organizmów żywych na powiązane ze sobą grupy. Obecnie minerałów nie klasyfikuje się już według metody Linneusza, a w odniesieniu do roślin i zwierząt szczegóły wprowadzonej przez niego systematyki uległy zmianom. W ostatnim okresie pojawiło się kilka alternatywnych systemów, ale żaden z nich nie przyjął się powszechnie. Linneusz zdał sobie sprawę, że systematyczna klasyfikacja organizmów żywych jest bardzo ważna z naukowego punktu widzenia, i wprowadził swój pomysł w czyn.
Nie obyło się jednak bez wpadek: początkowo zaliczył wieloryby do ryb. Jednak zanim w 1758 roku ukazało się dziesiąte wydanie Systema Naturae, znajomy ichtiolog zwrócił mu uwagę na tę pomyłkę i wieloryby trafiły już do ssaków.
Najbardziej znaną i najużyteczniejszą cechą systematyki Linneusza jest użycie podwójnych nazw, takich jak Homo sapiens, Felis catus, Dendrocopos major i Quercus robur – chodzi o gatunki: człowiek, kot, dzięcioł i dąb*. Najważniejsze w klasyfikacji nie jest sporządzenie listy ani przyjęcie dziwacznych nazw, by dowieść swej mądrości, ale wprowadzenie logicznych, jednoznacznych reguł odróżniania od siebie całego bogactwa istniejących stworzeń. Zwyczajne nazwy, takie jak „dzięcioł”, nie nadają się do tego celu: nie wiadomo, czy chodzi o najczęściej spotykanego w Polsce dzięcioła dużego, czy o dzięcioła czarnego, białogrzbietego, himalajskiego, czy o przedstawiciela jeszcze jakiegoś innego gatunku dzięciołów zamieszkujących Eurazję. Jednak linneuszowska nazwa Dendrocopos major jednoznacznie odnosi się do dzięcioła dużego i nie może być mowy o jakiejkolwiek pomyłce.
* Mówiąc precyzyjnie, kot domowy to Felis sylvestris catus, ale jego dwuczłonowa nazwa brzmi: Felis catus.
* * *

Ewolucja
Trzecia rewolucja wisiała w powietrzu już od pewnego czasu, ale wydarzeniem, które doprowadziło do jej wybuchu, było ukazanie się w 1859 roku książki Karola Darwina O powstawaniu gatunków. Ostatecznie ukazało się jej sześć wydań i obecnie zalicza się ją do grona najważniejszych prac naukowych wszech czasów, na równi z dziełami z dziedziny fizyki autorów takich jak Galileusz, Kopernik, Newton i Einstein. W swojej książce Darwin zaproponował nowe wyjaśnienie źródła różnorodności życia na Ziemi. Za jego czasów wśród uczonych i zwyczajnych ludzi panowało przekonanie, że każdy odrębny gatunek został stworzony oddzielnie przez Boga, w chwili gdy stwarzał Wszechświat. W myśl tego poglądu gatunki nie mogą się zmieniać z upływem czasu: owca była, jest i zawsze będzie owcą; pies był, jest i zawsze będzie psem.
Gdy jednak Darwin przeanalizował liczne dowody naukowe, których większość zebrał samodzielnie podczas wieloletnich podróży, doszedł do wniosku, że taki wygodny obraz świata jest coraz trudniejszy do obrony.
Miłośnicy gołębi wiedzieli od dawna, że stosując odpowiednią hodowlę, można doprowadzić do powstania zupełnie nowego rodzaju gołębia. To samo dotyczyło krów, psów i w zasadzie wszystkich udomowionych zwierząt. Oczywiście uzyskanie takiej zmiany wymagało odpowiedniego działania ze strony ludzi. Zwierzęta nie zmieniały się w ten sposób „z własnej woli”. Ktoś musiał je bardzo starannie wyselekcjonować – dobrać. Darwin uświadomił sobie jednak, że sama przyroda bez pomocy z zewnątrz również mogłaby w zasadzie doprowadzić do pojawienia się podobnych zmian, a bodźcem do ich dokonania się byłaby rywalizacja o zasoby. W trudnych czasach jedynie zwierzęta lepiej przystosowane do przeżycia mogą osiągnąć wiek pozwalający im na wydanie na świat potomstwa i to nowe pokolenie będzie w takim razie nieco lepiej przystosowane do środowiska.

Darwin sądził, że takie zmiany powinny zachodzić znacznie łagodniej niż zmiany wprowadzane przez hodowców, ale w długich okresach zmiany środowiska mogłyby doprowadzić do przekształcenia pewnych organizmów danego gatunku w osobniki o wyraźnie odmiennym wyglądzie i zachowaniu. Postrzegał ten proces jako powolne gromadzenie się mnóstwa niewielkich zmian. Dzięki znajomości geologii dobrze wiedział, że nasza planeta istnieje już od niezliczonych wieków, brak czasu więc nie był problemem. Nawet niezwykle powolne zmiany mogły ostatecznie wywołać bardzo wyraźny efekt.
Nazwał ten proces „doborem naturalnym”. Obecnie stosujemy określenie „ewolucja” – sam Darwin nie użył tego słowa, choć warto zauważyć, że ostatnie słowo w książce O powstawaniu gatunków brzmi: „wyewoluowały”. Dowody na potwierdzenie teorii ewolucji są tak liczne i pochodzą z tak wielu niezależnych źródeł, że dzisiejsza biologia nie miałaby bez niej żadnego sensu.

Obecnie niemal wszyscy biologowie (i większość uczonych, bez względu na rodzaj prowadzonych badań) uznają, że mamy wprost przytłaczające dowody na to, iż ewolucja jest najważniejszym mechanizmem, który doprowadził do wykształcenia się obecnej różnorodności gatunków. Jednak wyjaśnienie, jak ewolucja działa, to już zupełnie inna kwestia i na tym polu pozostało jeszcze wiele do zrobienia.

* * *

Genetyka
Czwartą rewolucję wywołało odkrycie genów przez Gregora Mendla. Mendel opublikował wyniki swoich prac w 1865 roku, ale przez kolejne pięćdziesiąt lat nie wzbudziły one większego zainteresowania. Organizmy żywe mają wiele łatwo zauważalnych cech charakterystycznych, takich jak kolor, rozmiar, faktura czy kształt. Darwin nie miał pojęcia, w jaki sposób cechy te przechodzą z rodziców na potomstwo, choć kilka niezależnych wywodów logicznych wskazywało na to, że taki proces musi zachodzić. W chwili gdy pisał O powstawaniu gatunków, Mendel badał już mechanizm dziedziczenia cech, ale Darwin nie miał o tym pojęcia. Wiedza ta bez wątpienia wywarłaby ogromny wpływ na jego rozważania. Około roku 1860 czeski ksiądz Gregor Mendel hodował już od siedmiu lat groch – w sumie miał 29 tysięcy roślin – i zliczał, ile roślin w każdym pokoleniu przejawia określone cechy. Czy zebrane z nich ziarna grochu mają kolor żółty, czy zielony? Czy groszki są gładkie, czy pomarszczone? W obserwacjach Mendla pojawiły się pewne interesujące prawidłowości liczbowe i uczony nabrał przeświadczenia, że w każdym żywym organizmie występują pewne „czynniki” – obecnie nazywamy je genami – które w jakiś sposób decydują o wielu jego cechach. Czynniki te przechodzą z poprzednich pokoleń, a u organizmów rozmnażających się płciowo występują parami: jeden pochodzi od „ojca” (męskiego organu rośliny), drugi zaś od „matki” (organu żeńskiego). Każdy czynnik może wystąpić w kilku różnych postaciach. To właśnie przypadkowa mieszanka takich „alleli” – różnych wersji genu – prowadzi do powstania zaobserwowanego wzorca w danych.

Początkowo uczeni nie mieli najmniejszego pojęcia, jaką postać fizyczną mają czynniki Mendla. Ich istnienie wynikało pośrednio z zaobserwowanych w danych prawidłowości – wartości określających w każdym pokoleniu względną liczbę roślin obdarzonych określoną kombinacją cech.

* * *

Struktura DNA
Piąta rewolucja była bardziej oczywista i, podobnie jak pierwszą, wywołało ją wynalezienie nowej techniki doświadczalnej. Nowa metoda prowadzenia badań, opierająca się na wykorzystaniu zjawiska dyfrakcji promieni rentgenowskich, pozwoliła biochemikom odkryć szczegółową strukturę złożonych, ważnych w biologii cząsteczek. Urządzenie wykorzystujące dyfrakcję promieni rentgenowskich działa w istocie jak „mikroskop” pozwalający wykryć położenie pojedynczych atomów w cząsteczce.
W latach pięćdziesiątych XX wieku Francis Crick i James Watson zaczęli się zastanawiać nad strukturą złożonej cząsteczki występującej w komórkach praktycznie wszystkich istot żywych: kwasu deoksyrybonukleinowego, znanego powszechnie jako DNA (od ang. deoxyribonucleic acid). Crick był brytyjskim fizykiem, który podczas pisania pracy doktorskiej niemal zanudził się na śmierć mierzeniem lepkości wody w wysokich temperaturach i w 1947 roku postanowił zająć się biochemią. Watson był Amerykaninem, który ukończył zoologię i zainteresował się pewnym rodzajem wirusów zarażających bakterie – wirusy takie określa się mianem bakteriofagów (czyli „pożeraczy bakterii”). Postawił przed sobą ambitny cel zrozumienia fizycznej natury genu takiego wirusa – poznania jego struktury cząsteczkowej.

W tamtych czasach wiedziano już, że geny znajdują się w obszarach komórki zwanych chromosomami i że głównymi składnikami genów są białka i DNA. Wśród biologów panowało przekonanie, że organizmy mogą się rozmnażać dlatego, iż geny są białkami zdolnymi do samopowielania, natomiast DNA uważano powszechnie za „głupi tetranukleotyd”, którego jedyną funkcją było tworzenie swego rodzaju rusztowania łączącego białka w odpowiedni sposób.

Pojawiły się już jednak pierwsze dowody świadczące o tym, że geny powstają właśnie z cząsteczki DNA, i uczeni zaczęli się zastanawiać nad kluczową kwestią: jak właściwie wygląda cząsteczka DNA? Jak są ułożone tworzące ją atomy? Watson zajął się tym zagadnieniem wspólnie z Crickiem. Razem przeprowadzili analizę DNA opartą na kluczowych doświadczeniach z dyfrakcją promieni rentgenowskich przeprowadzonych przez innych naukowców (w szczególności Maurice’a Wilkinsa i Rosalind Franklin), poprawnie odgadli kilka ważnych faktów i zaczęli budować modele w dosłownym tego słowa znaczeniu: łączyli ze sobą papierowe lub metalowe elementy w kształcie prostych cząsteczek, o których wiadomo było, że stanowią część DNA. Tym sposobem wpadli na hipotezę istnienia słynnej obecnie struktury podwójnej helisy – doszli do wniosku, że DNA tworzą dwie nici, niczym połączone ze sobą dwa ciągi spiralnych schodów.

Każda z nici (pojedyncze schody) zawiera ciąg zasad azotowych występujących w czterech odmianach: adenina (A), cytozyna (C), guanina (G) i tymina (T). Cząsteczki te łączą się parami: adenina (A) w jednej nitce zawsze łączy się z tyminą (T), w drugiej zaś cytozyna (C) zawsze łączy się z guaniną (G).
(…)