Podstawy matematyki

Innymi słowy, „Podstawy matematyki” to podręcznik inny niż wszystkie, napisany przez mistrza – Iana Stewarta.

Niniejsza książka przeznaczona jest dla czytelników, którzy pragną przejść od matematyki szkolnej do w pełni rozwiniętego stylu rozumowania matematyków zawodowych. Jest przeznaczona zarówno dla uczniów szkół średnich, rozważających pogłębianie wiedzy matematycznej, studentów pierwszych lat uniwersytetów i uczelni technicznych, jak i dla wszystkich osób poszukujących wglądu w fundamentalne idee i procesy myślowe matematyków.

Prezentowane w niej formalne podejście do matematyki budowane jest jako naturalna konsekwencja leżących u jej podstaw pojęć oraz idei. Poruszane w niej tematy obejmują: naturę myślenia matematycznego, przegląd intuicyjnego rozwoju takich pojęć, jak zbiory, relacje, funkcje, wprowadzenie do logiki w postaci praktykowanej przez matematyków, metody dowodzenia (łącznie z analizą sposobu zapisywania dowodu matematycznego), rozwój aksjomatycznych systemów liczbowych, poczynając od liczb naturalnych po konstrukcje liczb rzeczywistych i zespolonych, liczby kardynalne.

Ian Stewart – światowej sławy matematyk i autor bestsellerowych książek popularnonaukowych. Jest emerytowanym profesorem Uniwersytetu w Warwick, gdzie wciąż prowadzi aktywną działalność naukową. W roku 2001 otrzymał nagrodę Towarzystwa Królewskiego im. Michaela Faradaya za popularyzację nauki. Jest autorem licznych książek poświęconych matematyce, z których na język polski przetłumaczono dotychczas m.in.: „Oswajanie nieskończoności, „Histerie matematyczne”, „Listy do młodego matematyka”, „Krowy w labiryncie i inne eksploracje matematyczne”, „Jak pokroić tort i inne zagadki matematyczne”, „Dlaczego prawda jest piękna”, „Stąd do nieskończoności”, „17 równań, które zmieniły świat”, oraz „Matematykę życia”.

David Tall – teoretyk nauczania matematyki, pracuje w Education Research Centre Uniwersytetu w Warwick.

PRZEDMOWA DO WYDANIA DRUGIEGO

Świat poszedł naprzód od czasu pierwszego wydania tej książki, napisanej w 1976 roku na maszynie do pisania. Badania edukacyjne przyniosły nam nową wiedzę na temat nauczania myślenia matematycznego opartego na wcześniejszych doświadczeniach (zob. [3]). Wdrożyliśmy tę wiedzę, dodając komentarze, w których zachęcamy czytelnika do skupienia się na pełnym rozumieniu treści, co pozwoli lepiej uchwycić wszelkie niuanse definicji formalnych. Zamieściliśmy również dodatek na temat samoobjaśniania (autorstwa Lary Alcock, Marka Hoddsa i Matthew Inglisa z Centrum Edukacji Matematycznej Uniwersytetu Loughborough), którego celem jest długofalowa poprawa rozumienia sensu dowodu matematycznego. Dziękujemy autorom za zgodę na udostępnienie ich porad w niniejszym podręczniku.
Drugie wydanie pozostaje w dużej mierze zgodne z pierwszym, toteż nauczyciele je znający znajdą w nim większość oryginalnych treści i zadań. Niemniej jednak zrobiliśmy znaczący krok naprzód. W pierwszym wydaniu wprowadziliśmy idee teorii mnogości, logiki oraz dowodu i stosowaliśmy je, by poczynając od trzech prostych aksjomatów dla liczb naturalnych, skonstruować liczby rzeczywiste jako ciało uporządkowane zupełne. Uogólniliśmy obliczenia na zbiory nieskończone oraz wprowadziliśmy nieskończone liczby kardynalne. Nie uogólniliśmy natomiast idei dokonywania pomiaru, zgodnie z którą jednostki mogą być dzielone na mniejsze podjednostki w celu otrzymania ciała uporządkowanego.
W tym wydaniu przywracamy równowagę, wprowadzając nową część IV, która zachowuje rozdział o nieskończonych liczbach kardynalnych oraz zawiera nowy o tym, w jaki sposób znaleźć ciało uporządkowane będące rozszerzeniem ciała uporządkowanego liczb rzeczywistych. To część szerszej wizji matematyki formalnej, w której pewne twierdzenia, zwane twierdzeniami strukturalnymi, dowodzą, że struktury formalne mają swoją naturalną interpretację, którą można przedstawić drogą obrazowania lub operowania symbolami. Na przykład wiemy już, że formalną koncepcję ciała uporządkowanego zupełnego można przedstawić graficznie jako punkty na osi liczbowej lub, dla celów rachunkowych, symbolicznie, jako nieskończone ułamki dziesiętne.
Twierdzenia strukturalne pozwalają na sformułowanie nowej wizji matematyki formalnej, w której formalnie zdefiniowane koncepcje mogą być przedstawiane w sposób graficzny lub symboliczny, odwołujący się do naszej wyobraźni. Dzięki temu będziemy potrafili przedstawić sobie nowe idee w formie obrazu i operować nimi za pomocą symboli, co odsłania przed nami nowe możliwości. Dostrzegłszy je, możemy poszukać sposobu na ich formalne udowodnienie, rozszerzając naszą teorię o połączone formalne, graficzne i symboliczne metody działania.
Rozdział 12 w części IV otwiera przegląd wizji o szerszym zasięgu.
Rozdział 13 wprowadza teorię grup; formalna idea grupy – zbioru z działaniami, które spełniają określoną listę aksjomatów – zostaje wprowadzona po to, by udowodnić twierdzenie strukturalne mówiące, że elementy grupy funkcjonują, dokonując permutacji elementów zbioru, na którym została ona określona. Twierdzenie to umożliwia nam interpretację definicji formalnej grupy w sposób naturalny, opartą na symbolice algebraicznej i interpretacji geometrycznej.
W rozdziale 15, następującym po zachowanym z pierwszej edycji rozdziale 14 o nieskończonych liczbach kardynalnych, wykorzystujemy aksjomat zupełności dla liczb rzeczywistych w celu udowodnienia prostego twierdzenia strukturalnego odnoszącego się do dowolnego ciała uporządkowanego K, będącego rozszerzeniem liczb rzeczywistych. Wynika z niego, że K musi zawierać elementy k spełniające warunek k > r dla każdej liczby rzeczywistej r, które można nazwać „elementami nieskończonymi”, oraz że mają one elementy odwrotne h =1/k, spełniające warunek 0 < h < r dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej r, które można nazwać „nieskończenie małymi” lub „infinitezymalnymi”. (Istnieje odpowiednia notacja dla ujemnych liczb nieskończonych k, które dla każdej ujemnej liczby rzeczywistej r spełniają warunek k < r). Twierdzenie strukturalne dowodzi również, że należący do K dowolny element skończony k (co znaczy, że dla liczb rzeczywistych a, b zachodzi a < k < b) musi mieć postać a + h, gdzie a jest liczbą rzeczywistą, a h zerem lub wielkością nieskończenie małą. To pozwala nam przedstawiać graficznie elementy większego ciała K w postaci punktów na osi liczbowej. Tajemnica tkwi w zastosowaniu powiększenia m : K → K, danego wzorem m(x) = (x – a)/h, które odwzorowuje a w 0, natomiast a + h w 1, w taki sposób powiększając infinitezymalne szczegóły wokół a, że można je zobaczyć w normalnej skali. Taka możliwość często zaskakuje matematyków, którzy pracowali tylko z liczbami rzeczywistymi, nieobejmującymi wielkości nieskończenie małych. Teraz jednak, pracując z rozszerzonym ciałem uporządkowanym, możemy dzięki powiększeniu obrazu zobaczyć zawarte w nim wielkości infinitezymalne jako punkty na rozszerzonej osi liczbowej. Otwiera to przed nami dwie całkowicie różne drogi generalizacji zbiorów liczbowych, jedną przez uogólnianie obliczeń, drugą przez uogólnianie pełnej arytmetyki liczb rzeczywistych. Zyskujemy w ten sposób nową wizję, w której systemy aksjomatyczne mogą być definiowane w sposób spójny z ich własnym środowiskiem, lecz różne systemy da się rozszerzyć w obszerniejsze systemy o odmiennych własnościach. Dlaczego miałoby to nas dziwić? Zbiór liczb naturalnych nie zawiera elementów odwrotnych ze względu na mnożenie, lecz ciało liczb rzeczywistych ma elementy odwrotne ze względu na mnożenie dla każdego elementu niezerowego. Każdy rozszerzony system posiada własności stosowne do jego własnego kontekstu. To uwalnia nas od ograniczeń związanych z doświadczaniem świata realnego i pozwala użyć wyobraźni do tworzenia nowych potężnych teorii. Pierwsze wydanie tej książki zabrało studentów z ich dobrze znanego środowiska matematyki szkolnej w obszary precyzyjnego rozumowania czystej matematyki uniwersyteckiej. Niniejsze, drugie wydanie pozwala wejrzeć w szerszy świat myślenia matematycznego, w którym definicje formalne i dowody prowadzą ku zdumiewającym, nowym sposobom definiowania, dowodzenia, obrazowania i zapisu symbolicznego matematyki, dalece wykraczającym poza nasze oczekiwania. Ian Stewart i David Tall
Coventry 2015

PRZEDMOWA DO WYDANIA PIERWSZEGO

Niniejsza książka przeznaczona jest dla czytelników w fazie przejścia od matematyki szkolnej do rozwiniętego w pełni stylu rozumowania matematyków zawodowych. Powinna okazać się przydatna zarówno studentom pierwszego roku na wyższych uczelniach, jak i zaawansowanym uczniom szkół średnich, rozważających pogłębianie wiedzy matematycznej na studiach specjalistycznych. Może również wzbudzić zainteresowanie szerszej grupy czytelników, posiadających wyniesioną ze szkoły podstawową wiedzę matematyczną i poszukujących wglądu w fundamentalne idee i procesy myślowe matematyków.
Użyte w tytule książki słowo „podstawy”, choć często traktowane jako synonim fundamentów, ma szersze znaczenie, niż przyjęto w tradycji budowlanej. Nie tylko podtrzymują one naszą matematykę: są odczuwalne na każdym jej poziomie, jako swego rodzaju cement, który spaja całą strukturę w całość, ale też stanowi dla niej tworzywo. W tym sensie podstawy matematyki często przedstawiane są studentom jako rozszerzone ćwiczenia z formalizmu matematycznego: formalna logika matematyczna, formalna teoria mnogości, aksjomatyczny opis zbiorów liczbowych oraz technika ich konstruowania, a wszystko to ujęte w egzotyczny i wymyślny zapis symboliczny. Czasem idee te prezentuje się w sposób „nieformalny”, wychodząc z założenia, że są zbyt trudne dla nieśmiało rozkwitających studentów. Zazwyczaj takie postępowanie jest słuszne, ale z całkiem innych powodów. Z punktu widzenia psychologii podejście czysto formalne, nawet przy odrobinie swobody, jest niewłaściwe dla początkujących, ponieważ nie uwzględnia specyfiki procesu uczenia się. Koncentrowanie się na stronie technicznej kosztem sposobu pojmowania idei ukazuje zaledwie jedną stronę problemu. Praktykujący matematyk nie rozumuje wyłącznie w kategoriach suchego, stereotypowego symbolizmu: wręcz przeciwnie, jego myśli koncentrują się wokół tych części problemu, które, jak podpowiada mu doświadczenie, są głównym źródłem trudności. W trakcie tych zmagań rygor logiczny schodzi na plan dalszy: dopiero gdy wszystko wskazuje na to, że problem został rozwiązany intuicyjnie, leżące u jego podstaw idee są ujmowane w dowód formalny. Oczywiście są wyjątki od tej reguły: niektóre części problemu mogą zostać sformalizowane, jeszcze zanim pozostałe zostaną zrozumiane, choćby intuicyjnie; a niektórzy matematycy zdają się myśleć symbolami. Niemniej jednak w znakomitej większości wypadków powyższe twierdzenie pozostaje prawdziwe.
Celem tej książki jest zapoznanie studentów ze sposobem, w jaki praktykujący matematyk stawia czoła wyzwaniom swojej dziedziny. Wymaga to odwołania się do standardowych „podstaw” matematyki: jednak naszym celem jest rozwinięcie podejścia formalnego jako naturalnej konsekwencji podstawowego zestawu idei. Uczeń szkoły średniej ma szeroką wiedzę na temat wielu zasad matematycznych, a naszym celem jest zrobienie z tego użytku i takie wyostrzenie jego intuicji, by stała się narzędziem precyzyjnie uderzającym w samo jądro problemu. Nasz punkt widzenia różni się diametralnie od poglądu, który (zbyt często) wykłada się studentom: „Zapomnijcie wszystkiego, czego nauczyliście się do tej pory, to jest złe, zaczniemy od początku, tyle że tym razem zrobimy to dobrze”. Takie stwierdzenie nie tylko destrukcyjnie wpływa na wiarę we własne umiejętności u studentów, ale jest również nieprawdziwe. Co więcej, jest również rażąco mylące: student, który rzeczywiście zapomniałby wszystkiego, czego się dotąd nauczył, znalazłby się w pożałowania godnej sytuacji.
Psychologia procesu uczenia się narzuca istotne ograniczenia na możliwe sposoby traktowania koncepcji matematycznych. Często po prostu chodzi o to, by nie zaczynać od precyzyjnej definicji, ponieważ trudno jest w pełni zrozumieć jej treść bez dalszego wyjaśnienia oraz przedstawienia odpowiednich przykładów. Niniejsza książka została podzielona na cztery części, które mają uzmysłowić czytelnikowi stosowne do danego etapu nastawienie mentalne. Część I to poziom nieformalny, przygotowujący scenę.
Rozdział 1 rozwija leżącą u podstaw tej książki filozofię, badając sam proces uczenia się. Nie jest to prosta i równa ścieżka, lecz z konieczności usiana kamieniami i wyboista, pełna zakrętów oraz ślepych zaułków. Student, który ma tego świadomość, jest lepiej przygotowany do stawienia czoła trudnościom. Rozdział 2 poddaje analizie intuicyjną koncepcję liczby rzeczywistej jako punktu na osi liczbowej, wiążąc ją z ideą nieskończonego ułamka dziesiętnego oraz wyjaśniając, jak ważną cechą jest zupełność zbioru liczb rzeczywistych.
Część II przedstawia teorię mnogości i logikę w stopniu wystarczającym do dalszej pracy, ze szczególnym uwzględnieniem relacji (zwłaszcza relacji równoważności i porządku) oraz funkcji. Po wprowadzeniu pewnych podstaw logiki symbolicznej rozważamy, co składa się na „dowód”, podając definicję formalną. Następnie analizujemy rzeczywisty dowód, w którym pokazujemy, jak zwyczajowy styl matematyczny spycha rutynowe kroki dowodowe do roli kontekstowego tła – i całkiem słusznie, gdyż tok dowodu staje się tym sposobem daleko czytelniejszy. Omawiane są zarówno zalety takich praktyk, jak i wynikające z nich zagrożenia.
Część III dotyczy struktury formalnej zbiorów liczbowych oraz powiązanych z nią koncepcji. Zaczynamy od omówienia dowodów indukcyjnych, po czym przechodzimy do aksjomatów Peana dla liczb naturalnych i pokazujemy, jak techniki teoriomnogościowe umożliwiają skonstruowanie na bazie liczb naturalnych liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych. W kolejnym rozdziale wyjaśniamy, jak odwrócić ten proces, aksjomatyzując liczby rzeczywiste jako ciało uporządkowane zupełne. Udowadniamy, że uzyskane w ten sposób struktury zasadniczo są jednoznaczne, i odnosimy struktury formalne do ich intuicyjnych odpowiedników z części I. Następnie przechodzimy do omawiania liczb zespolonych, kwaternionów oraz ogólnych struktur algebraicznych i matematycznych. Z tego miejsca możemy już objąć spojrzeniem pełną panoramę matematyki. Inspirowana ideą liczenia dyskusja o nieskończonych liczbach kardynalnych prowadzi nas do prac o wyższym stopniu zaawansowania. Podpowiada również, że zadanie formalizowania naszych idei jeszcze nie dobiegło końca.
Część IV to krótka prezentacja ostatniego etapu: formalizacji teorii mnogości. Przedstawiamy możliwy układ aksjomatów i omawiamy aksjomat wyboru, hipotezę continuum oraz twierdzenia Gödla.
Przez cały czas jesteśmy bardziej zainteresowani ukrytymi za formalną fasadą ideami niż wewnętrznymi detalami stosowanego języka formalnego. Podejście właściwe dla matematyków zawodowych często nie jest odpowiednie dla studentów. (Seria testów, jaką jeden z nas przeprowadził przy pomocy studentów pierwszego roku, nie pozostawia co do tego żadnych wątpliwości!) Zatem nie jest to wykład ściśle logiczny, budujący na podstawie elementów logiki i teorii mnogości rygorystyczne podstawy matematyki (choć na zakończenie studenci będą w stanie ocenić, jak można tego dokonać). Wbrew temu, co zdają się sugerować formalne podręczniki, matematycy nie rozumują w sposób ortodoksyjny.
Umysł matematyka charakteryzuje pomysłowość i złożoność, jednym skokiem przechodzi on do konkluzji: nie zawsze dochodzi do niej w wyniku logicznej sekwencji kroków. Dopiero pełne zrozumienie prowadzi do wyłonienia czystej struktury logicznej.
Pokazanie studentowi gotowego budynku, bez wspierających proces budowy rusztowań, oznacza pozbawienie go udogodnień, które będą miały zasadnicze znaczenie, gdy zacznie konstruować własne idee matematyczne.
I. S. i D. T.
Warwick
październik 1976 r.

CZĘŚĆ I
INTUICYJNA PODBUDOWA

W pierwszej części tej książki dzielimy się refleksjami na temat doświadczeń, jakie czytelnik wyniósł z nauki matematyki w szkole, zastanawiamy się też, jak można je wykorzystać, by stały się bazą dla bardziej wyrafinowanego podejścia logicznego, które precyzyjnie ujmuje strukturę systemów matematycznych.
W rozdziale 1 snujemy rozważania na temat samego procesu uczenia się, zachęcamy czytelnika do zmiany sposobu myślenia na taki, który pozwoli uchwycić sens podejścia formalnego. W odniesieniu do nowych koncepcji tradycyjne podejście do problemów matematycznych może okazać się niewystarczające, droga będzie kręta i pełna ślepych zaułków, które należy zlokalizować. Niezwykle ważne jest to, aby czytelnik wziął pod rozwagę nowe okoliczności i przygotował się na zupełnie nowy sposób uprawiania matematyki.
Odwołując się do analogii „budowlanej”, dokonujemy przeglądu terenu, żeby się przekonać, jak moglibyśmy wykorzystać nasze dotychczasowe doświadczenia do wzniesienia trwałej, nowej struktury matematycznej, która będzie wystarczająco silna, żeby podtrzymać kolejne piętra rozwoju. Używając metafory „roślinnej”, studiujemy krajobraz, jakość gleby i klimat w celu podjęcia decyzji, jak hodować nasze rośliny, żeby zapewnić im silne korzenie i przewidywalny wzrost.
W rozdziale 2 skupimy się na intuicyjnej koncepcji liczby rzeczywistej jako punktu na osi liczbowej oraz odpowiadającej jej reprezentacji symbolicznej w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego, wskazując na potrzebę zdefiniowania zupełności zbioru liczb rzeczywistych. W dalszej perspektywie doprowadzi nas to do zaskakującego, nowego sposobu postrzegania osi liczbowej jako części obszerniejszego programu badania reprezentacji graficznych i symbolicznych struktur formalnych, który spaja ze sobą matematykę formalną, wizualną i symboliczną, ujmując ją w spójne ramy.