W poszukiwaniu zera. Matematyczna odyseja do źródła pochodzenia liczb

Idea liczby to jedno z największych intelektualnych osiągnięć człowieka. Całą wiedzę dotyczącą otaczającego nas świata zdobyliśmy dzięki umiejętności operowania liczbami. Jednak kiedy i gdzie liczby pojawiły się po raz pierwszy, kto dokonał przełomu, który ukształtował całą historię ludzkości?

W książce „W poszukiwaniu zera” Amir D. Aczel daje odpowiedź na to głębokie pytanie – pytanie, które zadawał sobie przez całe życie. Obsesja dotycząca odnalezienia źródła liczb zaprowadziła autora do krajów Dalekiego Wschodu, a w końcu aż do kambodżańskiej dżungli.

„W poszukiwaniu zera” stanowi zapis tej niezwykłej podróży w przestrzeni i czasie, a także podsumowanie całej naukowej drogi życiowej autora.

Amir D. Aczel (1950-2015) – historyk matematyki, absolwent Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley i University of Oregon. Wykładał na wielu uniwersytetach w Stanach Zjednoczonych i krajach europejskich. Jeden z najbardziej znanych popularyzatorów matematyki i autor wielu książek popularnonaukowych.

Wynalezienie liczb to jedna z najważniejszych abstrakcyjnych koncepcji, jakie zrodziły się w ludzkim umyśle. Praktycznie wszystko w naszym życiu jest cyfrowe, liczbowe, wyrażone ilościowo w ten czy inny sposób. Jednak historia tego, jak poznaliśmy liczby, od których tak bardzo jesteśmy uzależnieni, długo owiana była tajemnicą. Ta książka jest moją osobistą opowieścią o obsesji, jaką byłem ogarnięty przez całe życie – o pragnieniu odkrycia pochodzenia naszych liczb. Krótko prześledzimy w niej znaną historię babilońskich liczb zapisywanych pismem klinowym i późniejszych liczb greckich i rzymskich, a następnie zadamy sobie kluczowe pytanie: skąd pochodzą tak zwane cyfry indyjsko-arabskie, którymi posługujemy się obecnie?
W swoich poszukiwaniach zapuściłem się na nieznany jeszcze teren, udając się na wyprawę do źródeł tych cyfr w Indiach, Tajlandii, Laosie, Wietnamie i ostatecznie w kambodżańskiej dżungli, gdzie znajdowała się zapomniana inskrypcja z VII wieku. Po drodze spotkałem wiele interesujących osób: naukowców dążących do odkrycia prawdy, podróżników przemierzających dżunglę w poszukiwaniu przygód, zaskakująco szczerych polityków, bezwstydnych przemytników i podstępnych rabusiów gotowych przywłaszczyć sobie cudze znaleziska.

Gdy pod koniec lat pięćdziesiątych XX wieku wysłano mnie do pierwszej klasy w prywatnej szkole Hebrew Reali School w Hajfie w Izraelu, zadano mi pytanie, które stawia się tam wszystkim uczniom rozpoczynającym naukę. Moja nauczycielka, panna Nira, młoda, piękna kobieta, która dużo się uśmiechała i nosiła długie, kolorowe sukienki, pytała po kolei każdego sześciolatka, czego chciałby się dowiedzieć w tej szkole.
– Jak zarobić dużo pieniędzy – odparło jedno dziecko.
– Co sprawia, że drzewa i zwierzęta rosną – odpowiedziało inne.
Gdy przyszła kolej na mnie, powiedziałem szczerze, czego chciałbym się dowiedzieć:
– Skąd wzięły się liczby.
Panna Nira spojrzała na mnie zdziwiona i na chwilę zastygła, a potem bez słowa zwróciła się do dziewczynki siedzącej obok mnie. Nie byłem nad wiek rozwiniętym dzieckiem, które stawia nauczycielom pytania wprawiające ich w zakłopotanie – po prostu miałem bardzo niezwykłe dzieciństwo. Moja odpowiedź na pytanie postawione przez nauczycielkę była bezpośrednim wynikiem tego, czego doświadczyłem w czasach tego wyjątkowego dzieciństwa.
Mój ojciec był kapitanem SS Theodor Herzl, statku wycieczkowego przemierzającego Morze Śródziemne z prędkością 21 węzłów, kursującego z portu macierzystego w Hajfie do mitycznych wysp, takich jak Korfu, Ibiza i Malta, a także – często – do bajecznego Monte Carlo. Jednym z przywilejów, jakie miał ojciec jako kapitan, było prawo do zabierania ze sobą rodziny, kiedy tylko miał na to ochotę. Bardzo często z niego korzystaliśmy i w efekcie chodziłem do szkoły tylko przez część każdego roku, a zaległości nadrabiałem, ucząc się z prywatnymi nauczycielami lub samodzielnie. Po powrocie do szkoły musiałem oczywiście zdawać zaległe egzaminy.
Gdy Theodor Herzl zawijał do uroczego Monako ze wspaniałym pałacem wznoszącym się dumnie na skale nad Morzem Śródziemnym, ojciec rzucał kotwicę, a zaraz potem szybka motorówka przewoziła pasażerów i załogę na brzeg. Nocą wielu z nich wybierało się do słynnego kasyna w Monte Carlo, stojącego na brzegu morza w centrum miasta. Bez dwóch zdań była to światowa stolica hazardu w najwytworniejszym wydaniu. Jednak osoby niepełnoletnie, takie jak ja, nie miały wstępu do sal, w których koronowane głowy, gwiazdy filmowe i znane osobistości zabiegały o względy kapryśnej Fortuny. Gdy więc dorośli z naszego statku, włącznie z moimi rodzicami, grali w ruletkę, mnie zostawiano pod opieką jednego ze stewardów na zewnątrz tego pałacu z białego marmuru, stojącego pośród wysokich palm, bugenwilli oraz białych i czerwonych oleandrów. Biegałem z moją siostrą Ilaną po ścieżkach bujnego ogrodu i razem bawiliśmy się w chowanego wśród pachnących krzewów.
Próbowaliśmy sobie z Ilaną wyobrazić, co się może dziać w środku tego imponującego budynku, do którego, jak sądziliśmy, nigdy nie uda się nam wejść. Czy odbywają się tam tańce? Czy goście jedzą wykwintne dania, jak to często bywało na pokładzie naszego statku? Wiedzieliśmy, że dorośli grają tam w jakieś gry – zawsze o tym rozmawiali po powrocie na statek – ale jakie? Umieraliśmy z ciekawości, jak tam jest, i bezustannie o tym ze sobą szeptaliśmy.
Aż pewnego dnia przyszła kolej na osobistego stewarda naszego taty, by zająć się nami w ogrodach kasyna. Laci (wymawia się „Lotzi”), Węgier, obmyślił sposób na to, by przemycić trzyletnią dziewczynkę i pięcioletniego chłopca do środka kasyna. Był moim ulubionym stewardem – pozostali to nudziarze w średnim wieku, którzy zajmowali się nami z pewną niechęcią (tak naprawdę nie wchodziło to w zakres ich obowiązków). Byli uprzejmi i grzeczni, ale traktowali nas dość chłodno i oficjalnie. Za to, gdy zajmował się nami Laci, zawsze działo się coś zabawnego i nierzadko robiliśmy różne psoty, na które inni dorośli nam nie pozwalali.
– Ten chłopiec musi natychmiast zobaczyć się z matką. To pilne! – wysyczał Laci do ponurego, ogromnego ochroniarza w smokingu, który pilnował drzwi, i nie czekając na odpowiedź, popchnął nas do środka kasyna.
Śmiertelnie się bałem, że zaraz nas wyrzucą. Wiedziałem, że kasyno jest dla nas, dzieci, terenem zakazanym. Ale ku mojemu ogromnemu zdziwieniu nic się nie stało. Nikt nie podbiegł, by nas stamtąd wygonić. Byłem oszołomiony. Na podłodze pokrytej ozdobnym dywanem zobaczyłem wielkie, eleganckie stoły przykryte zielonym suknem, a na każdym z nich wyrysowana była szachownica z czerwonymi i czarnymi liczbami oraz jedno bardzo szczególne pole z okrągłą cyfrą na zielonym tle. Powietrze było ciężkie od dymu cygar i fajek i musiałem się bardzo powstrzymywać, by nie zanieść się kaszlem.
Ucieszyłem się, gdy przy jednym ze stołów zobaczyłem rodziców. Wiedziałem jednak, że nie mogę im przeszkadzać. Stałem więc bez ruchu i nie odzywałem się ani słowem. Bałem się, że ten cudowny sen może się w każdej chwili skończyć.
Ojciec siedział u szczytu stołu, po przeciwnej stronie niż krupier, ubrany w wytworny biały kapitański mundur z licznymi brytyjskimi medalami, które otrzymał za bohaterstwo podczas wojny, a obok niego zobaczyłem mamę w oszałamiającej jasnoniebieskiej sukni wieczorowej. Po jednej ich stronie siedział amerykański kongresman z któregoś z południowych stanów, a po drugiej słynna francusko-włoska piosenkarka Dalida. Oboje byli ważnymi osobistościami towarzyszącymi nam podczas tego rejsu. Wokół stołu zebrali się również inni pasażerowie i wszyscy z ogromnym napięciem obserwowali dużą czarną misę na środku. Zauważyłem, że skupiają uwagę na małej białej kulce, którą mężczyzna w krótkiej czarnej marynarce, koszuli z białym kołnierzykiem i czarnej muszce wrzucił do misy z obracającym się kołem. Laci przesuwał się dyskretnie do przodu, aż w końcu stanęliśmy tuż za rodzicami. To było fascynujące – znaleźliśmy się w samym środku tego magicznego rytuału, dostępnego wyłącznie dla osób, które ukończyły 21 lat. Laci trzymał mnie i siostrę na rękach, tak że siedzieliśmy wygodnie, każde w jednym z jego ramion. Z tej wysokości dobrze widziałem wszystko, co dzieje się na stole.
Zrobiło się dziwnie cicho, gdy kulka wirowała we wnętrzu misy. Słyszałem każde jej stuknięcie o metalowy rowek oddzielający liczby na dole koła i każde odbicie w dół od jednej z czterech metalowych ozdób w kształcie rombu, umieszczonych ponad liczbami po wewnętrznej stronie misy. Czułem napięcie i wyczekiwanie. Ojciec odwrócił się nagle i gdy nas zauważył, uśmiechnął się porozumiewawczo do Laciego, ale zaraz potem ponownie skupił uwagę na stole.
– Spójrz – wyjaśnił Laci szeptem. – Widzisz? Na stole są wypisane liczby i każda z nich znajduje się również na kole. Teraz patrz uważnie, co się będzie działo.
Siedziałem mu na ręce z głową wyciągniętą do przodu – nie chciałem, żeby mi cokolwiek umknęło. Mała kulka wciąż odbijała się wokół misy, ale już wolniej. Wkrótce się zatrzyma. Ale gdzie? Na której liczbie wyląduje? Laci powiedział, że kulka może się zatrzymać tylko na jednej liczbie, ponieważ wszystkie pola są rozdzielone metalowymi ściankami. Gdy koło zwalniało, starałem się odgadnąć, gdzie wpadnie kulka. Mogłem już teraz odczytać poszczególne liczby wypisane na dole. Te kolorowe liczby całkowicie mnie oczarowały. Ich ozdobne kształty pociągały mnie swoją tajemniczością, a później, gdy dorastałem, zrozumiałem, że są one odzwierciedleniem podstawowych abstrakcyjnych pojęć, które rządzą naszym światem. Nigdy nie zapomnę ich widoku na planszy obitej suknem. Zakochałem się w ich magii. Kojarzyły mi się z czymś pociągającym i zakazanym, z jakąś nieznaną przyjemnością, która czeka na odkrycie. Kulka wreszcie odbiła się po raz ostatni i zatrzymała na liczbie siedem. Nagle przy stole zrobiło się głośno. Starsza kobieta w jasnożółtej sukni wieczorowej, siedząca po przeciwnej stronie, nagle zerwała się z miejsca i krzyknęła:
– Tak!
Wszystkie głowy odwróciły się w jej kierunku. Niektórzy gracze gratulowali jej, jak gdyby mieli udział w wygranej. Inni, być może z zazdrości lub zmartwieni własną porażką, głośno wyrażali swoje rozczarowanie.
Krupier przesunął po stole wielki stos żetonów w różnych kolorach – małych, okrągłych i większych, prostokątnych z wypisanymi na nich dużymi liczbami. Wiedziałem, że te kawałki plastiku zastępują pieniądze, a każdy kolor i kształt oznacza inną kwotę. Wprawdzie nie znałem się wtedy jeszcze zbyt dobrze na pieniądzach, ale widząc liczbę i rozmiar żetonów oraz niesłabnące ożywienie wokół stołu, zrozumiałem, że ta kobieta stała się bogata. Laci wyjaśnił mi, że krupier daje jej kwotę wielokrotnie większą, niż wynosił zakład, ponieważ postawiła na pojedynczą liczbę. Spojrzałem na nią – zobaczyłem euforię malującą się na jej uśmiechniętej twarzy i usłyszałem pełne entuzjazmu okrzyki:
– Wygrałam! Wygrałam!
Wówczas Laci wymamrotał, jak gdyby do siebie:
– Siedem, liczba pierwsza.
Zaciekawiło mnie, co to znaczy. Laci zawsze miał nam do przekazania ważne rzeczy i wiedziałem, że ta stłumiona uwaga musiała coś oznaczać. Dużo później, już na statku, wyjaśnił mi, czym są liczby pierwsze. Zauroczenie nimi miało mi później towarzyszyć przez całe życie.
Laci z własnej inicjatywy został moim nauczycielem matematyki na statku. Pewnego dnia mama przyglądała się przez dłuższy czas, jak Laci mnie uczy, a potem spytała tatę, skąd jego steward tak dużo wie na ten temat. Okazało się, że tuż po wojnie Laci był niezwykle obiecującym doktorantem na Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym, ale potem wybuchła duża afera związana z jego badaniami, które miały coś wspólnego z tajnymi informacjami – być może chodziło nawet o podejrzenia o szpiegostwo – i pod naciskiem KGB władze uniwersytetu poprosiły go o opuszczenie uczelni. Wszystkie te wydarzenia spowijała aura tajemniczości. Laci nigdy o tym nie mówił i nikt nie znał żadnych szczegółów na ten temat.
Jednak Laci najwyraźniej odegrał się na Sowietach, ponieważ dalszy ciąg tej historii jest dobrze znany i był opisywany we wszystkich gazetach. Po zrezygnowaniu ze studiów pojechał do Czechosłowacji, gdzie nauczył się latać na samolotach wojskowych. Akurat wtedy, w 1948 roku, Żydzi z rodzącego się państwa Izrael zostali zaatakowani przez otaczające ich ze wszystkich stron kraje arabskie. Laci usłyszał, że bardzo potrzebne są im samoloty, i choć nie miał żydowskich korzeni, wskoczył na fotel pilota jednej z czeskich maszyn, na których się uczył, wystartował i poleciał do Izraela, gdzie przekazał samolot jako dar nowo utworzonym Izraelskim Siłom Powietrznym. Ponieważ w nowym kraju nie miał nic innego do roboty, zaczął pracować dla firmy przewozowej Zim Lines i ostatecznie został stewardem mojego taty. Obaj byli Węgrami i łączyło ich wspólne pochodzenie, poglądy i podejście do życia. (Nawiasem mówiąc, statek Theodor Herzl został tak nazwany na cześć innego Węgra, którego teoria polityczna położyła podwaliny pod państwo Izrael).
Ojciec i Laci byli ze sobą zżyci, a Laci bardzo poważnie traktował swoje obowiązki stewarda kapitana i nigdy się za bardzo od taty nie oddalał. Ponieważ na statku był członkiem załogi przebywającym najbliżej ośrodka władzy, praktycznie każdy chciał być jego przyjacielem. Tak upływało jego nowe życie, ale mimo to nigdy nie stracił zamiłowania do matematyki i przez kolejne lata wiele mnie na ten temat nauczył.
– Skąd się wzięły te liczby? – spytałem go, gdy na statku kładł mnie i moją siostrę do łóżka po naszej wielkiej przygodzie w kasynie.
Opuściliśmy kasyno w trójkę, gdy ojciec w końcu odwrócił się do Laciego i wskazał gestem, że czas już, by dzieci poszły spać.
– To jest wielka zagadka – odparł. – Nikt tak naprawdę tego nie wie.
A ponieważ widział, że Ilana i ja wciąż jesteśmy pobudzeni po przeciągającej się do późnego wieczoru wizycie w miejscu, do którego od dawna chcieliśmy wejść, zamiast bajki na dobranoc opowiedział nam część tego, co na ten temat wiadomo:
– Nazywamy te cyfry – bo tak poprawnie nazywa się kształty liczb, które widzieliście – arabskimi, czasami indyjskimi, a nawet indyjsko-arabskimi. Jednak kiedyś, gdy waszego tatę i mnie zatrzymano wraz z całą załogą w jednym z arabskich miast portowych, wykorzystałem okazję, by się dowiedzieć, jakimi cyframi Arabowie posługują się obecnie.
Otworzył szufladę, wyjął blok papieru listowego i zapisał dużymi znakami dziesięć arabskich cyfr.
– Widzicie? W niczym nie przypominają dobrze nam znanych liczb, które oglądaliśmy dzisiaj na stole w kasynie.
Wpatrywałem się zdumiony w te liczby. Nigdy nie widziałem takich znaków. Tylko jeden z nich przypominał naszą cyfrę 1; reszta była dla nas zupełnie obca. Piątka była niewielkim, nierównym kółkiem, a zero – kropką. Próbowałem skopiować liczby zapisane przez Laciego, ale nie wychodziło mi to zbyt dobrze.
Potem Laci wyjął talię kart, którą zabrał ze sobą, i rozłożył je obrazkami do góry. Usiłowałem odczytać wszystkie wypisane na nich liczby, a mała Ilana bawiła się nimi, obracając ozdobnie wyrysowane postacie czerwonych i czarnych królów, królowych i waletów. Zauważyła, że rysunki wyglądają tak samo, nawet gdy obróci się je do góry nogami.