Alex po drugiej stronie lustra. Jak liczby odzwierciedlają życie, a życie odzwierciedla liczby

Matematyka jest niczym dowcip. Całkiem poważnie! Każdy dowcip trzeba załapać i podobnie trzeba załapać rozumowanie matematyczne.
I tu, i tu mamy do czynienia z takim samym procesem myślowym. Dowcipy są krótkimi opowieściami składającymi się z wprowadzenia i puenty. Słuchamy ich uważnie, by się na końcu roześmiać.

Rozumowanie matematyczne również jest opowieścią z wprowadzeniem i puentą. Oczywiście jest to opowieść innego rodzaju, w której występują liczby, figury, symbole i formuły. Taką matematyczną narrację zwykle nazywamy dowodem, a puentę – twierdzeniem.

Studiujemy dowód uważnie aż wreszcie dochodzimy do jego konkluzji. Szast prast! Coś podobnego! Neurony szaleją! Przypływ intelektualnej satysfakcji wynagradza nam cały trud i uśmiechamy się.

Ha-ha! w przypadku dowcipu i aha! w przypadku rozumowania matematycznego wyrażają w gruncie rzeczy przeżycie tego samego rodzaju – to właśnie między innymi sprawia, że matematyka tak fascynuje i wciąga.

Podobnie jak najzabawniejsze puenty, najpiękniejsze twierdzenia ukazują coś, czego się nie spodziewaliśmy. Odsłaniają przed nami nową ideę, nową perspektywę. W przypadku dowcipów wybuchamy śmiechem; w przypadku rozumowania matematycznego zapiera nam dech z podziwu. Zafascynowany od dzieciństwa matematyką Alex Bellos w swojej książce również stara się nas zaskakiwać. Pokazuje, że najbardziej zdumiewająca cecha matematyki polega na tym, że była i nadal jest niesamowicie skuteczna jako narzędzie umożliwiające nam poznanie tego, co nas otacza.

Nasza cywilizacja zawdzięcza swój rozwój odkryciu prostych figur, jak okręgi i trójkąty, które początkowo wyrażano graficznie, a później w języku równań. Jest najbardziej imponującym i mającym najdłuższą tradycję przedsięwzięciem w ludzkich dziejach.

Alex Bellos jest brytyjskim pisarzem i publicystą. Studiował matematykę w Corpus Christi College na Uniwersytecie Oksfordzkim. Jego pierwsza książka, “Alex’s Adventures in Numberland” (Przygody Alexa w krainie liczb) zdobyła wiele nagród i nominacji zarówno w Wielkiej Brytanii, jak i w Stanach Zjednoczonych.

Wstęp

Matematyka jest niczym dowcip.
Mówię to całkiem poważnie.
Każdy dowcip trzeba „załapać” i analogicznie trzeba „załapać” rozumowanie matematyczne.
I tu, i tu mamy do czynienia z takim samym procesem myślowym.
Pomyślcie tylko. Dowcipy są krótkimi opowieściami składającymi się z wprowadzenia i puenty. Słuchamy ich uważnie, by się na końcu roześmiać.
Rozumowanie matematyczne również jest opowieścią z wprowadzeniem i puentą. Oczywiście jest to opowieść innego rodzaju, w której występują liczby, figury, symbole i formuły. Taką matematyczną narrację zwykle nazywamy „dowodem”, a puentę – „twierdzeniem”.
Studiujemy dowód uważnie, aż wreszcie dochodzimy do jego konkluzji. Szast-prast! Coś podobnego! Neurony szaleją! Przypływ intelektualnej satysfakcji wynagradza nam cały trud i się uśmiechamy.
Ha-ha! w odniesieniu do dowcipu i aha! w wypadku rozumowania matematycznego wyrażają w gruncie rzeczy przeżycie tego samego rodzaju – to właśnie między innymi sprawia, że matematyka tak fascynuje i wciąga.
Podobnie jak najzabawniejsze puenty, najpiękniejsze twierdzenia ukazują coś, czego się nie spodziewaliśmy. Odsłaniają przed nami jakąś nową ideę, nową perspektywę. W wypadku dowcipów wybuchamy śmiechem; rozumowanie matematyczne zapiera nam dech z podziwu. To właśnie ten element zaskoczenia sprawił, że już jako dziecko zakochałem się w matematyce. Nic innego tak konsekwentnie nie zadawało kłamu moim przyjmowanym z góry tezom.
W tej książce również będę raz po raz zaskakiwać. Wprowadzę was w krąg moich ulubionych pojęć matematycznych i pokażę, jak bardzo obecne są one w naszym życiu. Chciałbym, abyście docenili piękno, użyteczność i nieodparty urok logicznego myślenia.

W mojej poprzedniej książce Przygody Alexa w krainie liczb eksplorowałem krainę matematycznej abstrakcji. Teraz zejdę na ziemię – zajmę się zarówno światem rzeczywistym odbitym w zwierciadle matematyki, jak i abstrakcyjnym, inspirowanym przez nasze fizyczne doświadczenia.
Na początek wezmę pod lupę ludzi. Jaki jest nasz stosunek do liczb i skąd się on bierze? Następnie wezmę pod lupę liczby, i indywidualnie, i wszystkie razem. Każda z liczb jest na swój sposób wyjątkowa. Kiedy jednak mamy z nimi do czynienia en masse, możemy dostrzec coś fascynującego – zachowują się one jak dobrze zorganizowany tłum.
Potrzebujemy liczb, aby rozeznać się w świecie, i dzieje się tak, odkąd tylko nauczyliśmy się liczyć. W istocie najbardziej zdumiewająca cecha matematyki polega na tym, że była ona i nadal jest niesamowicie skuteczna jako narzędzie umożliwiające nam poznanie tego, co nas otacza. Nasza cywilizacja zawdzięcza swój rozwój odkryciu prostych figur, takich jak okręgi i trójkąty, które początkowo wyrażano graficznie, a później w języku równań.
Zaryzykowałbym twierdzenie, że matematyka jest najbardziej imponującym i mającym najdłuższą tradycję przedsięwzięciem w ludzkich dziejach. W dalszym ciągu książki będę podążał z pochodnią odkrycia od egipskich piramid po Mount Everest, od Pragi po Kanton i od wiktoriańskiego salonu po świat samoreplikujących się cyfrowych tworów. Po drodze napotkamy wiele grackich umysłów, w tym zarówno znane nazwiska ze starożytności, jak i mniej znane – z czasów obecnych. Naszymi bohaterami będą: noszący fular celebryta, którego spotkałem w Indiach, wymachujący rewolwerem prywatny badacz ze Stanów Zjednoczonych, członek tajnego stowarzyszenia z Francji oraz inżynier aerokosmiczny, który mieszka nieopodal mojego londyńskiego lokum.
W naszej wędrówce po świecie fizycznym i świecie abstrakcji będziemy mieli do czynienia z pojęciami szeroko znanymi, takimi jak liczba pi i liczby ujemne, ale natrafimy też na obiekty bardziej tajemnicze, które staną się naszymi dobrymi znajomymi. Napełnią nas podziwem konkretne zastosowania koncepcji matematycznych, w tym takie, które są konkretne w jak najbardziej fizycznym sensie, bo wykonane z betonu.

Nie musicie być obeznani z matematyką, aby móc czytać tę książkę. Przeznaczona jest ona dla szerokiego kręgu odbiorców. W każdym rozdziale przedstawiam nowe pojęcie matematyczne, nie zakładając żadnej uprzedniej wiedzy u czytelnika. Jednakże w nieunikniony sposób niektóre z pojęć są bardziej intelektualnie wymagające niż inne. Niekiedy jest to matematyka na poziomie szkoły wyższej i może chwilami onieśmielać osoby o mniejszej smykałce matematycznej. W takich wypadkach przeskoczcie od razu na początek kolejnego rozdziału, gdzie powracam do poziomu elementarnego. Początkowo może się wam nieco zakręcić w głowie, zwłaszcza jeśli prezentowany materiał jest dla was zupełną nowością, ale o to właśnie chodzi. Chciałbym, abyście spojrzeli na życie z innej perspektywy. Niekiedy dotarcie do etapu aha! zabiera nieco czasu.
Wszystko to brzmi bardzo poważnie, ale jest wręcz przeciwnie. Nacisk na element niespodzianki czyni z matematyki najlepszą rozrywkę wśród dyscyplin intelektualnych. Ludzie od zawsze nie tylko używają liczb jako narzędzi, lecz także się nimi bawią.
Matematyka zarówno pozwala nam lepiej zrozumieć świat, jak i dostarcza intelektualnej uciechy.
Alex Bellos
styczeń 2014

Jerry Newport poprosił, bym podał jakąś czterocyfrową liczbę.
„2761”, powiedziałem.
„To jest 11 × 251”, odparł i zaczął wymieniać kolejne liczby jednym ciągiem, bez najmniejszych zawahań głosu.
„2762. To jest 2 × 1381”.
„2763. To jest 3 × 3 × 307”.
„2764. To jest 2 × 2 × 691”.
Jerry to emerytowany taksówkarz z Tucson w stanie Arizona cierpiący na syndrom Aspergera. Ma rumianą cerę i małe niebieskie oczy, a jego wysokie czoło przecięte jest po przekątnej kosmykiem ciemnoblond włosów. Na równi z liczbami uwielbia ptaki i podczas naszego spotkania miał na sobie czerwoną kwiecistą koszulę z papugą. Siedzieliśmy sobie w jego saloniku, razem z jedną kakadu, jedną gołębicą, trzema aleksandrettami i jedną papużką nimfą, które przysłuchiwały się naszej rozmowie, od czasu do czasu powtarzając fragmenty zdań.
Ilekroć Jerry zobaczy jakąś dużą liczbę, z miejsca rozkłada ją na iloczyn liczb pierwszych, czyli takich jak 2, 3, 5, 7, 11…, które dzielą się jedynie przez siebie samą i 11. Dzięki temu nawykowi jego wcześniejsza praca w taksówce sprawiała mu szczególną przyjemność, gdyż miał przed oczami numery rejestracyjne jadących przed nim samochodów. Gdy mieszkał w Santa Monica, gdzie rejestracje mają po cztery lub pięć cyfr, często zaglądał na czteropoziomowy parking miejscowej galerii handlowej i nie wychodził dopóty, dopóki nie odczytał liczb z tablic wszystkich znajdujących się tam pojazdów.
W Tucson jednak numery rejestracyjne są zaledwie trzycyfrowe i Jerry prawie w ogóle nie ma na co patrzeć.
„Jeśli numer ma więcej niż cztery cyfry, to od razu zwraca moją uwagę. Cztery lub mniej cyfr to łatwizna. Słowo daję! – zaprotestował. – No, podaj jakąś nową liczbę!”
Syndrom Aspergera to zaburzenie psychiczne, w którym trudności w kontaktach z innymi idą w parze z niezwykłymi uzdolnieniami, na przykład, jak u Jerry’ego, zdumiewającą umiejętnością rachowania w myślach. W 2010 roku bez żadnych przygotowań wziął on udział w mistrzostwach świata w rachunku myślowym w Niemczech, wygrywając w klasyfikacji generalnej, za co przyznano mu tytuł Najbardziej Wszechstronnego Rachmistrza, przy czym jako jedyny ze współzawodników zdobył komplet punktów w kategorii, w której należało rozłożyć 19 liczb pięciocyfrowych na czynniki pierwsze w ciągu dziesięciu minut. Nikt inny nawet nie zbliżył się do tego wyniku.
Sposób Jerry’ego na rozkładanie wielkich liczb na czynniki polega na odsiewaniu kolejno coraz to większych liczb pierwszych – wyciąganiu czynnika 2 dla liczby parzystej, czynnika 3, jeśli liczba dzieli się przez 3, czynnika 5, jeśli jest podzielna przez 5, i tak dalej.
Podniósł głos niemal do krzyku: „O tak, odsiewamy, odsiewamy, kochanie!”. Zaczął kręcić tułowiem: „Jesteśmy na scenie. Podawajcie tylko liczby, ludzie, a już my je wrzucimy na sito. Tak, my! Jerry i jego drużyna!”.
„Ja też mam parę sit” – wtrąciła jego żona Mary siedząca obok nas na sofie. Mary, która komponuje muzykę i zagrała niewielką rólkę w serialu Star Trek, również ma syndrom Aspergera; u kobiet występuje on znacznie rzadziej niż u mężczyzn. Małżeństwo dwojga ludzi cierpiących na Aspergera jest ewenementem i na kanwie ich niekonwencjonalnej miłości nakręcono w 2005 roku film Zaklęte serca.
Czasem Jerry’emu nie udaje się wyciągnąć żadnego czynnika pierwszego z dużej liczby, co oznacza, że ona sama jest liczbą pierwszą. Gdy tak się zdarzy, Jerry doznaje dreszczyku emocji: „Jeśli natrafię na liczbę pierwszą, której do tej pory nie znałem, to tak jak gdyby przy zbieraniu minerałów znaleźć nowy, cenny kamień. Coś niczym diament, który można zabrać do domu i położyć sobie na półce”.
Wziął oddech. „Nowa liczba pierwsza – to zdobycie nowego przyjaciela”2.

Najwcześniejsze słowa i symbole pojawiły się mniej więcej pięć tysięcy lat temu w Sumerze, na obszarze obecnego Iraku. Sumerowie nie zadawali sobie zbytniego trudu, jeśli chodzi o wymyślanie nazw liczb. Ges – „jeden” – oznaczało jednocześnie mężczyznę bądź wzwiedziony fallus. Słowo na „dwa”, min, oznaczało kobietę, co symbolizowało ideę, że kobieta jest uzupełnieniem mężczyzny, bądź też opisywało penis i parę piersi3.
Początkowo liczby używane były do celów praktycznych, takich jak liczenie owiec czy obliczanie podatków. Niemniej jednak dostrzegano również ich właściwości abstrakcyjne, które dawały wiele do myślenia. Bodaj najwcześniejszym odkryciem matematycznym była obserwacja, że istnieją dwa rodzaje liczb – parzyste, które da się podzielić na dwa bez reszty, takie jak 2, 4 i 6, i nieparzyste, których się nie da, jak 1, 3 i 5. Grecki myśliciel Pitagoras, który żył w VI wieku p.n.e., nawiązując do sumeryjskiego skojarzenia jedynki z mężczyzną i kobiety z dwójką, głosił, że liczby nieparzyste są męskie, a parzyste – żeńskie. Niepodzielność na dwie części, twierdził, uosabia siłę, podczas gdy podatność na takie podzielenie stanowi słabość. Podawał też argumenty rachunkowe – liczby nieparzyste dominują nad parzystymi, ponieważ jeśli dodamy liczbę nieparzystą do parzystej, otrzymany wynik jest nieparzysty.
Pitagoras najbardziej znany jest ze swojego twierdzenia o trójkątach, do którego dojdziemy w dalszym ciągu tej książki. Niemniej jednak jego pogląd, że liczby mają płeć, zdominował myśl Zachodu na ponad dwa tysiące lat. Chrześcijaństwo wyraziło go w swoim micie o stworzeniu – Bóg stworzył najpierw Adama, a dopiero potem Ewę. Jedynka symbolizuje jedność, a dwójka to „grzech, który oddala od Pierwotnego Dobra”4. Średniowieczny Kościół postrzegał liczby nieparzyste jako mocniejsze, lepsze, bardziej uduchowione i przynoszące więcej szczęścia niż parzyste, a w czasach Szekspira nadawanie im metafizycznej rangi stało się powszechne: „Powiadają ludzie, że nieparzysta liczba jest świętą liczbą przy urodzeniu, przedsięwzięciach i śmierci” – rzecze Falstaff w Wesołych kumoszkach z Windsoru5. Te przesądy utrzymują się do dziś dnia.
Szekspir jest również odpowiedzialny za współczesne znaczenie angielskiego słowa odd (nieparzysty, dziwny). Początkowo miało ono jedynie sens numeryczny i używane było w wyrażeniach takich jak odd man out określających niesparowanego członka grupy trzech osób5. Natomiast w Straconych zachodach miłości groteskowy Hiszpan Don Adriano de Armado opisany jest jako „zbyt wymuskany, wyfiokowany, zbyt dziwny, że tak powiem, za wielki peregrynant, jeśli mi wolno się tak wyrazić”6. Uzyskanie liczby jeden jako reszty po podzieleniu przez dwa zostało odtąd nierozerwalnie skojarzone z dziwnością.