Pi. Biografia najbardziej tajemniczej liczby na świecie

Pi to klucz do świata tajemnic, które fascynują matematyków od starożytności po dzień dzisiejszy. Liczba π stanowiła zagadkę dla całych pokoleń uczonych, którzy próbowali ją zdefiniować, ustalić jej wartość i wyjaśnić, dlaczego pojawia się w zaskakujący sposób w tak wielu różnych dziedzinach.

Nie bez powodu zainteresowanie liczbą π urosło niemal do kultu, którego przejawami są niezliczone dyskusje i publikacje, światowy ranking osób, które zapamiętały najwięcej cyfr rozwinięcia π, a także obchodzony 14 marca dzień liczby π.

W swojej książce, „π. Biografia najbardziej tajemniczej liczby na świecie”, Alfred S. Posamentier i Ingmar Lehmann opowiadają niezwykłą historię najniezwyklejszej z liczb, odkrywając przed czytelnikami jej piękno i wyjaśniając, dlaczego przez wieki inspirowała zarówno profesjonalnych matematyków, jak i amatorów.

Alfred S. Posamentier jest popularyzatorem matematyki, dziekanem School of Education i profesorem w City College of New York. Wydał ponad pięćdziesiąt książek z dziedziny matematyki.

Ingmar Lehmann jest pracownikiem katedry matematyki na Uniwersytecie Humboldtów w Berlinie i autorem licznych publikacji o matematyce.

W Polsce ukazała się książka „Niezwykłe liczby Fibonacciego. Piękno natury i potęga matematyki” autorstwa Posamentiera i Lehmanna.

Wprowadzenie do π

Tematem tej książki jest tajemnicza liczba nazywana π (co wymawiamy „pi”). Większość ludzi pamięta o niej tylko tyle, że często wspominano ją na lekcjach matematyki. I na odwrót: gdyby zapytać kogoś, czego nauczył się w szkole na matematyce, najczęstszą odpowiedzią jest właśnie jakiś fakt związany z π. Zazwyczaj przywoływane są dwa wzory: 2πr lub πr2. Ale czy pamiętamy, co opisują te formułki, albo czym tak naprawdę jest π? Zazwyczaj nie. Dlaczego więc miałaby powstać książka o π? Tak się składa, że wokół liczby π urosło ogromne zainteresowanie przypominające wręcz kult. Powstało już wiele innych książek poruszających ten temat. W Internecie można znaleźć strony z ciekawostkami dotyczącymi tej liczby, jej miłośnicy zakładają kluby dyskusyjne, a nawet wyznaczono specjalny dzień w roku, w którym świętujemy istnienie π – przypada on 14 marca, co (zupełnie przypadkowo) pokrywa się z dniem urodzin Alberta Einsteina w 1879 roku. Gdybyście się zastanawiali, dlaczego na dzień π wybrano akurat 14 marca, przypomnijcie sobie, że w szkole najczęściej przyjmowano po prostu, iż π wynosi 3,141.
Z pewnością nie będzie dla was zaskoczeniem to, że π jest po prostu jedną z liter greckiego alfabetu i jako taka niczym szczególnym się nie wyróżnia. Została jednak wybrana – z powodów, o których opowiemy później – by reprezentować proporcję, za którą kryje się wiele niezwykłych i bardzo różnych historii. Z jednej z wielu liter w greckim alfabecie stała się symbolem najważniejszej stałej geometrycznej, by później niespodziewanie występować w innych bardzo różnych dziedzinach matematyki. Stanowiła zagadkę dla wielu pokoleń uczonych, którzy próbowali ją zdefiniować, ustalić jej wartość i wyjaśnić, dlaczego pojawia się w zaskakujący sposób w tak wielu dziedzinach ich badań. Takie wszędobylskie liczby jak π czynią z matematyki prawdziwie interesującą i piękną dziedzinę nauki. Naszym zamiarem jest pokazanie jej piękna przez przyjrzenie się zagadkowej liczbie π.

Różne aspekty π

Nie chcemy odszyfrowywać skomplikowanych równań, rozwiązywać trudnych problemów czy starać się wyjaśnić to, co niepoznawalne. Spróbujemy odkryć piękno, a nawet pewną figlarność, którymi charakteryzuje się ta słynna liczba, oraz pokazać, dlaczego przez wieki inspirowała zarówno ludzi profesjonalnie zajmujących się matematyką, jak i amatorskich entuzjastów tej nauki, by poszukiwać i zgłębiać związane z nią pojęcia. Pokażemy, jak pojawia się w zupełnie nieoczekiwanych miejscach i odgrywa zaskakujące role, oraz przyjrzymy się niekończącym się wyzwaniom, jakie przed informatykami stawia poszukiwanie coraz dokładniejszych przybliżeń dziesiętnych wartości π. Być może próby znajdowania coraz to lepszych przybliżeń wydadzą się na pierwszy rzut oka pozbawione głębszego sensu, ale warto z otwartym umysłem przyjrzeć się wyzwaniu, które intrygowało całe pokolenia entuzjastów.
Głównym tematem tej książki jest próba zrozumienia π i niektórych z jej najpiękniejszych aspektów. Zaczniemy więc naszą dyskusję od zdefiniowania tej liczby. Dla niektórych π jest jedynie przyciskiem na kalkulatorze, po którego naciśnięciu na wyświetlaczu pojawia się konkretna liczba, dla innych stanowi źródło niewyobrażalnej fascynacji. W zależności od wielkości wyświetlacza liczba, jaka pojawi się na kalkulatorze, będzie wyglądać tak:

3,1415927
3,141592654
3,14159265359
3,1415926535897932384626433832795

Może też być nawet jeszcze dłuższa.
Naciśnięcie przycisku na kalkulatorze wciąż jednak niezbyt wiele mówi nam o tym, czym naprawdę jest π. Daje tylko pewne przybliżenie jej wartości liczbowej wyrażonej w systemie dziesiętnym. Być może dla niektórych to wszystko, co trzeba wiedzieć o π – informacja, że symbol ten przedstawia konkretną liczbę, która może być przydatna. Uważamy jednak, że takie podejście byłoby ogromnym błędem i że nie można odrzucić całej głębi tego tematu, koncentrując się na zastosowaniu π w konkretnych wzorach i uzyskując jej wartość dzięki automatycznemu naciśnięciu przycisku.
Symbol π
Symbol π to po prostu szesnasta litera greckiego alfabetu, a sławę zyskał dzięki swojemu zastosowaniu w matematyce. W starożytnej grece oraz języku hebrajskim nie istniały symbole numeryczne, dlatego do przedstawiania liczb używano liter z odpowiedniego alfabetu. Ponieważ grecki alfabet miał tylko dwadzieścia cztery litery, a potrzebnych było dwadzieścia siedem symboli, wykorzystano trzy litery pochodzenia semickiego. Były nimi ϝ (digamma) reprezentująca 6, ϙ (koppa) oznaczająca 90 oraz ϡ (sampi) – 900.
(…)
Być może przypadkowo, a może na podstawie jakichś luźnych skojarzeń, liczbę π matematycy wybrali później, by reprezentowała bardzo ważną stałą wartość związaną z kołem czy okręgiem. Pamiętacie zapewne, że okrąg to najbardziej symetryczna figura geometryczna, której historia sięga czasów prehistorycznych. Dokładniej rzecz biorąc, π oznacza stosunek obwodu okręgu do jego średnicy2. Zapisuje się to symbolicznie jako π = , gdzie O to obwód, a d – średnica. Średnica okręgu jest dwa razy dłuższa od jego promienia: d = 2r, gdzie r to długość promienia. Jeśli za d podstawimy 2r, uzyskamy równość π = , która prowadzi nas do słynnego wzoru na obwód okręgu: O = 2πr, który można również zapisać jako O = πd.
Innym znanym wzorem zawierającym π jest zależność opisująca pole koła jako πr2. W odróżnieniu od wzoru na obwód, który wynika bezpośrednio z definicji π, wymaga on wyprowadzenia.

Wzór na pole koła

Przyjrzyjmy się stosunkowo prostemu „wyprowadzeniu” wzoru na pole koła (P = πr2), gdzie r oznacza promień koła. Zaczniemy od tego, że na kawałku tektury narysujemy niewielki okrąg. Następnie podzielimy go (a więc pełne 360°) na szesnaście jednakowych łuków. Można to zrobić, odmierzając kolejne kąty 22,5° albo kolejno dzieląc okrąg na dwie części, potem na cztery, następnie dzieląc te ćwiartki na dwie i tak dalej.

Takie ułożenie sugeruje, że mamy do czynienia z figurą przypominającą równoległobok3. A gdybyśmy pocięli koło na jeszcze więcej kawałków, ułożona z nich figura byłaby jeszcze bliższa równoległobokowi. Załóżmy więc, że otrzymaliśmy prawdziwy równoległobok. W takim wypadku jego podstawa ma długość równą połowie obwodu początkowego koła, gdyż na skonstruowanie zarówno górnego, jak i dolnego boku naszego przybliżonego równoległoboku zużyliśmy połowę okręgu. Innymi słowy, nasza przypominająca równoległobok figura ma na dwóch przeciwległych bokach nie linie proste, ale odpowiednio poprzekładane łuki koła. Dalsze rozważania będziemy prowadzić, zakładając, że są to linie proste – oczywiście oznacza to, że w pewien sposób ucierpi na tym dokładność uzyskanych wyników. Długość podstawy to O. A skoro O = 2πr, długość podstawy wynosi więc πr. Pole równoległoboku obliczamy, mnożąc długość podstawy przez wysokość. W naszym przykładzie wysokość równoległoboku jest też promieniem wyjściowego koła. Tak więc pole równoległoboku (i jednocześnie pole pociętego na kawałki koła) wynosi (πr) (r) = πr2, co prowadzi nas do powszechnie znanego wzoru na pole koła. Dla niektórych czytelników być może jest to pierwsza szansa na odkrycie, że za słynnym wzorem na pole koła kryje się coś więcej niż tylko zbitka symboli.

Kwadrat i koło

Nie odbiegniemy zbytnio od naszego głównego tematu, przywołując teraz interesujący fakt mówiący, że π ma jedyną w swoim rodzaju własność polegającą na tym, że łączy pole kwadratu, którego długość boku równa się długości promienia danego koła, z polem tego koła. Jest stałym czynnikiem łączącym te dwie wielkości. Pole kwadratu (ilustracja 1.3) to r2, a gdy pomnożymy to przez π, otrzymamy pole koła: πr2.

Wartość π

Teraz, kiedy rozumiemy już, co oznacza π w kontekście dobrze nam znanych wzorów, zbadamy, jaka jest rzeczywista wartość liczbowa stosunku π. Jednym sposobem określenia tej wartości jest dokładne zmierzenie obwodu oraz średnicy pewnego okręgu i obliczenie ilorazu otrzymanych wyników. Można to zrobić za pomocą miarki lub kawałka sznurka. Przy niezwykłej dokładności pomiarów być może udałoby się nam otrzymać wynik 3,14 – taka precyzja rzadko kiedy jest jednak możliwa. Aby ukazać, jakie trudności niesie ze sobą uzyskanie podobnej dokładności przy tej metodzie, wyobraźcie sobie, że pomiary okręgów o różnych wielkościach miałoby przeprowadzić dwudziestu pięciu ludzi. Następnie otrzymane przez nich wyniki (czyli każdy ze zmierzonych obwodów podzielony przez odpowiednią zmierzoną średnicę) zostałyby uśrednione. Nawet wtedy uzyskanie ostatecznego wyniku tak dokładnego jak 3,14 byłoby niezmiernie trudne.
Pewnie pamiętacie ze szkoły, że najczęściej używaną wartością π jest liczba 3,14, a niekiedy też . Każda z nich to jedynie przybliżenie. Dokładnej wartości zwyczajnie nie da się określić. Jak w takim razie możemy uzyskać (choćby przybliżoną) wartość π? Przyjrzymy się teraz kilku z wielu niezwykle pomysłowych sposobów, jakie matematycy na przestrzeni wielu wieków wykorzystywali, by odnaleźć coraz dokładniejszą wartość interesującej nas liczby. Niektóre z nich mogą się wydać ciekawe, inne być może was zadziwią. Większość kryje w sobie coś więcej poza tym, że pomagają uzyskać lepsze przybliżenie π.
Jedną z niedawnych prób odnalezienia dokładniejszego przybliżenia π podjęto w Tokio w grudniu 2002 roku. Profesor Yasumasa Kanada (wieloletni tropiciel π) i jego dziewięciu kolegów z Centrum Technik Informatycznych Uniwersytetu w Tokio obliczyli wartość π z dokładnością 1,24 biliona miejsc po przecinku. Osiągnęli tym samym dziewięciokrotnie większą dokładność niż ta uzyskana w poprzednim rekordowym rozwinięciu z 1999 roku. Profesor Kanada korzystał z superkomputera Hitachi SR8000, zdolnego do wykonywania 2 bilionów operacji na sekundę. Być może zapytacie, do czego potrzebna nam jest aż taka precyzja. Właściwie do niczego. Metody wyliczania kolejnych cyfr w rozwinięciu dziesiętnym π są po prostu wykorzystywane, by sprawdzić precyzję i skuteczność używanego komputera oraz odpowiedniej procedury obliczeniowej (niekiedy nazywanej algorytmem). Można też rozważać czas, jaki był potrzebny komputerowi, by wykonać zadanie. W omówionym wyżej wypadku Hitachi SR8000 potrzebował na obliczenia ponad sześciuset godzin.
Warto zatrzymać się na chwilę, by wyobrazić sobie ogrom liczby 1,24 biliona. Jak myślicie, w jakim wieku jest osoba, która przeżyła 1,24 biliona sekund? Pytanie to może wydawać się irytujące, gdyż wymaga od nas operowania bardzo małymi jednostkami powtarzającymi się bardzo wiele razy. Wartość takiego rozumowania polega jednak na tym, że wszyscy wiemy, jak długa jest sekunda. A jak duży jest bilion? Bilion to 1 000 000 000 000, czyli tysiąc miliardów. Aby policzyć, ile sekund mieści się w jednym roku, musimy wykonać następujące rachunki: 356 × 24 × 60 × 60 = 31 536 000 sekund. W wyniku otrzymujemy  lat – a więc osoba, która przeżyła bilion sekund, musiałaby mieć 31 709 lat!
Wartość liczbowa π wciąż jest źródłem ludzkiej fascynacji. W przeciwieństwie do zwykłego ułamka jej rozwinięcie dziesiętne nie jest okresowe. Rozwinięcie okresowe to takie, w którym od pewnego miejsca określony układ cyfr zaczyna się powtarzać aż do nieskończoności. Przyjrzyjmy się ułamkowi zwykłemu . Dzieląc 1 przez 3, otrzymamy odpowiedni ułamek dziesiętny postaci: 0,33333(3)4. Okres tego rozwinięcia składa się z pojedynczej cyfry, co oznacza, że cyfra 3 powtarza się nieskończenie wiele razy. Oto kilka innych przykładów okresowych rozwinięć dziesiętnych:

  = 0,5000(0);   = 0,666(6);   = 0,285714285714(285714)
Używamy nawiasów okrągłych, by wskazać nieprzerwane powtarzanie się znajdujących się w nich ciągów cyfr. Ułamek  ma więc okres składający się z sześciu cyfr, ponieważ ciąg 285714 powtarza się w jego rozwinięciu dziesiętnym nieskończenie wiele razy.
W rozwinięciu dziesiętnym liczby π nie ma takiego powtarzającego się okresu. Tak naprawdę – choć niektórzy używają odpowiednio długiego przybliżenia dziesiętnego π jako tablicy z numerami losowymi (przydatnej na przykład w uzyskaniu pozornie losowej próbki statystycznej) – można się w tym rozwinięciu doszukiwać różnego rodzaju nieprawidłowości. Kiedy na przykład przyjrzycie się uważniej pierwszemu tysiącu cyfr z rozwinięcia π, odkryjecie, że poszczególne cyfry (od 0 do 9) nie są w nim reprezentowane w takim samym stopniu. Gdybyście zdecydowali się je policzyć, przekonacie się, że nawet na pierwszych 150 miejscach po przecinku różne cyfry nie pojawiają się z taką samą częstotliwością. Na przykład siódemek jest mniej (10 na pierwszych 150 miejscach) niż trójek (których na pierwszych 150 miejscach jest 16). Później przyjrzymy się temu zjawisku jeszcze uważniej.

Dziwaczne fakty związane z rozwinięciem π

W omawianej przez nas liście cyfr można się doszukać wielu niezwykłości. Matematyk John Conway zauważył, że jeśli podzieli się rozwinięcie dziesiętne π na grupy składające się z dziesięciu cyfr, to prawdopodobieństwo, że w dowolnej takiej grupie znajdą się wszystkie cyfry od 0 do 9, wynosi jeden do czterdziestu tysięcy. Wskazał też jednak, że wszystkie cyfry występują już w siódmej z kolei takiej grupie, co widać poniżej:

π = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971
6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825
3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172
5359408128…
Innym sposobem wyrażenia tego faktu jest stwierdzenie, że w każdej grupie kolejnych dziesięciu cyfr rozwinięcia dziesiętnego π widniejącej powyżej przynajmniej jedna cyfra się powtarza. Sumowanie cyfr rozwinięcia również prowadzi do wielu ciekawych odkryć. Na przykład suma cyfr z pierwszych 144 miejsc daje 666 – liczbę mającą niezwykłe własności, o czym jeszcze się przekonamy.